學習進階為不同課型“把脈”*

江蘇省宜興市丁蜀高級中學 毛燕平

學習進階理論旨在為學生的認知發展建模，形成可持續發展的數學核心素養.學習進階理論強調圍繞核心概念或研究主題，建構一系列前后一致、邏輯連貫的思維序列，讓學生自主選擇合適的認知路徑，循序漸進，層層深入，逐步走向深度學習的高層次階段.

以教學改革為名而推出的評優課、示范課、精品課自然吸引了很多人的關注，起到教學引領作用的示范課自然不能輕視，但師生雙方均會因為聽課者的出現而在注意力上有所分散.筆者以為，師生每天都會經歷的常態課往往會因為學生所受限制較少而呈現出更加默契的師生交流.本文結合同一教材的示范課與常態課的教學片段進行了對比分析與思考，依據學習進階理論在各自存在的問題上進行分析并探尋了兩者之間的“平衡點”.

一、以“已有認知”作為教學出發點

以學生的已有認知作為教學的出發點并引導學生在分析思考、合作探究中獲取新知識，才能使學生的儲備知識得到激發和挖掘并以此為“生長點”進行新知識的探究.

情境1：示范課

某教師在數列復習示范課上設計出了如下兩個問題：

問題1：填寫以下表格.

學生很快得出：前n 個正奇數之和等于n2；重要不等式定理為：若a，b∈R+，則（當且僅當a=b時取“=”）.

師：大家想一想應如何證明？

三分之二的學生在問題1 的鋪墊下順利進行了證明，而且方法比較統一.

情境2：常態課

這是筆者推門聽課所聽的一節數列復習課，該執教老師作出了以下不同設計：

這位教師在隨堂課上直接將上述問題拋給了學生，學生在沒有任何鋪墊的情況下陷入了思考僵局.

師：學生1，在此題的證明上你是如何思考的？

生1：我的思考還沒成熟，不過我想從左邊往右邊證明，好像不好做.

師：有哪位同學能補充一下？

生2：我準備將其左邊看作數列來解題的，不過也沒解決.

（學生的思考明顯受阻了）

師：將式子左右兩邊割裂是上述兩位同學共同的想法，是否可以綜合起來呢？

（學生激烈討論起來，執教老師擔心浪費時間，開始了直奔目標的啟發）

師：什么的和是n2？我們之前學過的？

生3：前n 個正奇數之和為n2.

師：不等式左邊的每一項是否可以變為奇數呢？

生4：嗯，不等式右邊有（n+1）2，則前n+1 個正奇數之和為（n+1）2，想法將左邊轉化成前n+1 個正奇數之和就行了.

生5：數學歸納法證明也是可行的.

師：很好，這是你根據自學內容得到的證明方法，大家以后也都會運用到的.

反思：情境1 的設計明顯是教師認真準備的，問題1 作出的鋪墊令課堂教學的目標得以順利完成，但問題2 所具備的潛在價值卻并沒有得到充分地體現.情境2忽略了學生的思維起點，學生探究的內容雖然多，但其中的認知跨度明顯是學生較難適應的，這也直接導致了教師最后只能選擇直接告知的教學方式.筆者以為，教師應認清學生的已有認知水平并依此進行教學情境設計，引領學生在已有認知的基礎上有效回顧和深入探索，這也是教師在課堂設計中必須探究、確立的示范課和常態課的一個“平衡點”.

二、以“問題引領”作為教學落腳點

教師圍繞知識目標設計的問題與問題情境能使學生在認識問題、解決問題的過程中獲得數學思維能力與數學素養的提升.

情境3：示范課

某教師在教研活動中的教學片段如下：

師：已知等差數列{an}：4，7，10，13，16，…，請大家觀察此數列并嘗試寫出其第100 項a100.

生1：a100=301.

師：怎樣算的呢？

生1：我正好預習了等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d，我將a1=4，n=100，d=3 代入公式計算了出來.

師：若沒預習過，這第100 項a100又應該如何計算呢？

生1：一項一項推.

師：這是很煩瑣的過程了，能找到規律嗎？

生1：后一項減前一項正好都是3，其他就不懂了.

師：老師接下來就將每一項列出并寫出其改寫過程.

（這是教師擔心課堂教學任務不能完成作出的舉動）

則a100=4+3×99=301.

師：從a100=4+3×99=301 的表示中，大家能猜出首項是a1、公差是d 的等差數列{an}的通項第n 項an嗎？如何證明？

生2：數列{an}的通項為an=a1+（n-1）d.不過我不會證明.

師：大家還記得等差數列的定義嗎？是否可從此處著手？

生3：可以的，從等差數列的定義可知，a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，將以上n-1 個等式相加可得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d.

情境4：常態課

師：已知等差數列{an}：4，7，10，13，16，…，大家觀察一下，是否可以很快寫出其第100 項a100呢？

生1：我不會.

師：請大家觀察以下各式并分別寫出其值.

生2：都等于3.

師：那么大家是否可以對上述n-1 個式子進行整體考慮并推出第100 項的值呢？

生3：用疊加法可以求出.

師：那大家能否猜出首項是a1、公差是d 的等差數列{an}的通項an呢？怎么證明？

生4：能，根據等差數列的定義可知a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上n-1 個等式相加可得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d.

反思：情境3 中的執教老師作出了“觀察——歸納——猜想——證明”的教學設計，不過因為學生沒有數列的類似知識導致教師的這一設計失敗了，最終教師只能自己給出改寫過程.情境4 中的執教老師設計的問題情境較為簡單，過于直接的問題設計并不能幫助學生對所學知識形成深刻的理解.事實上，教師如果能抓住等差數列的概念本質并設計問題情境，使學生能夠在以“問題引領”的教學中進行思考與探究，必然能使我們獲得示范課與常態課的又一“平衡點”.

三、以“拓展變式”作為教學生長點

以“拓展變式”作為教學生長點能使學生的學習能力與創新意識均得到很好的發展，教師在實際教學中應有針對性地進行拓展變式訓練并幫助學生更好地學會應用.

情境5：示范課

師：誰會解決此題？

（學生沒有表示，于是該執教老師直接提問了生1）

生1：它明顯不是等差數列，所以用等差數列求和的方法是不行的，但式子看上去比較特別，應該有特殊辦法，不過我不會.

情境6：常態課

教學的第一步同情境5 中的問題1，問題解決之后隨即進行了拓展與變式.

拓展1：已知等差數列{an}，an≠0，公差是d，化簡

拓展3：如果數列{an}對一切正整數n 均滿足：，那數列{an}必然為等差數列嗎？如果是，請證明；如果不是，能舉出反例嗎？

反思：存在多處限制的情境5的教學相對呆板，學生的思維和能力生長也因此喪失.情境6 的教學卻能擺脫各種限制并進行拓展，新的知識生長點因此形成，但教學容量相對過大，很多學生對拓展變式的理解與把握未必深入.事實上，教師若能在學生掌握“裂項求和”的基礎上進行拓展1、拓展2 的訓練，有效資源“生長點”的有效應用必然使示范課與常態課之間再獲新的“平衡點”.

總之，教師應以“已有知識”為教學的出發點并進行問題情境的設計與拓展變式的訓練，使示范課與常態課之間處于平衡、穩定的狀態并獲得課堂教學的理想效果.W