一個中心，兩個基本點
——談數列的專題復習

江蘇省海安市曲塘中學 陳宏春

數列是高中數學的主干內容之一，在高考命題中既有解答題也有選擇和填空題，約占20分.數列因其規律性強、題型多變、求解方法多樣等特點，所以成為學生復習的難點.基于此，本文針對高三專題復習提出了“一個中心，兩個基本點”的復習建議.

一、一個中心

一個中心是指以特殊數列為中心，這里所說的特殊數列，主要是指等差、等比數列.這兩個特殊的數列是數列整章內容的核心，各類數列問題均與等差或等比數列有著千絲萬縷的聯系，甚至最終轉化為等差或等比數列進行處理.因此，對等差、等比數列有關內容的掌握是數列復習的重中之重.其中主要包括如下幾個方面：

（1）定義：定義是判定一個數列是否為等差或等比數列的主要方法.

（2）通項公式：是數列概念的本質體現，等差數列的通項公式具有一次函數的性質，等比數列的通項公式具有指數函數的性質.

（3）等差、等比中項：體現了數列中相鄰三項之間的關系，以及在此基礎上得出的重要性質：對于等差數列{an}，若m+n=p+q=2t，則am+an=ap+aq=2at，對于等比數列則有

（4）數列的前n項和公式及其最值問題.等差數列的前n項和公式具有二次函數的性質，當d＞0時，Sn有最小值；當d＜0時，Sn有最大值.

（5）單調性：對于等差數列{an}，若d＞0，則{an}為遞增數列；若d＜0，則{an}為遞減數列.對于等比數列{bn}，若b1＞0，q＞1，則{bn}是遞增數列；若b1＜0，q＞1，則{bn}是遞減數列.若b1＞0，0＜q＜1，則{bn}是遞減數列；若b1＜0，0＜q＜1，則{bn}是遞增數列.

（6）周期性：若數列{an}對于任意的正整數n，存在常數T，使得an+T=an，則{an}是以T為周期的數列.

下面簡舉兩例說明：

例1 （2019年全國卷Ⅲ）已知各項均為正數的等比數列{an}的前4項和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=（ ）.

A.16 B.8 C.4 D.2

解析：設等比數列{an}的公比為q，由a5=3a3+4a1，得a1q4=3a1q2+4a1，即q4-3q2-4=（q2-4）（q2+1）=0，因為q＞0，所以q=2.

故選C.

說明：本題考查了等比數列的通項公式、求和公式，體現了數列的基本量法在解題中的應用.

例2 已知數列{an}滿足an+an-1=n（n≥2，n∈N*）且a1=-1，則a10=______，其前2k-1（k∈N*）項和S2k-1=______.

解析：由an+an-1=n得an+1+an=n+1，兩式相減得an+1-an-1=1，進而可知數列{an}的奇數項與偶數項分別是以1為公差的等差數列.

當n為奇數時，因為a1=-1，所以

當n為偶數時，因為a2=3，所以

因為當n為偶數時，a1+a2，a3+a4，a5+a6，…是以2為首項，2為公差的等差數列，所以

說明：本題所給數列的奇數項與偶數項分別是以1為公差的等差數列，故數列的通項或求和均應分n為奇數和偶數兩種情況進行討論.

二、兩個基本點

兩個基本點，即數列的兩種必考題型，求數列的通項公式、前n項和.幾乎所有的數列問題，都是圍繞這兩個基本點展開的.

1.求數列的通項公式

求一個數列的通項公式除等差與等比數列以外，通常有兩種題型：

一種是給出前n項和公式，這里既包括前n項和Sn與n的關系，也包括Sn與an的關系，可利用應用此公式解題時要注意對n=1進行檢驗.

例3 （2019年全國卷Ⅰ）記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4=0，a5=5，則（ ）.

A.an=2n-5 B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n D.Sn=

解 析：設Sn=An2+Bn，由已知得S4=0，S5=5，所以解得所以Sn=n2-4n，Sn-1=（n-1）2-4（n-1），即an=Sn-Sn-1=2n-5.經檢查，當n=1時，也符合.

故選A.

說明：本題求解中利用了數列的前n項和公式為二次函數的性質，利用待定系數法求得Sn，再利用公式an=得到通項公式.

另一種是給出遞推關系求通項公式，常用方法主要有：疊加法、疊乘法、構造新數列法，其中難點是構造新數列法，所謂的新數列，其實就是等差或等比數列.構造的方法主要有待定系數法、取倒數法、平方法、取對數法等.

例4 已知數列{an}滿足：a1=2且N*），則數列{an}的通項公式為______.

說明：本題求解中利用了“取倒數法”和“待定系數法”構造新數列為等比數列，進而求得數列{an}的通項公式.

2.求數列的前n項和

若數列的通項為“等差+等比”型，可利用“分組求和法”；若數列為“等差×等比”型，可利用“錯位相減法”；若與首、末兩項等距的兩項之和為定值，可利用“倒序相加法”求解；若數列的通項為如下幾種形式，可利用裂項相消法求和：

因前三種類型較為固定，請同學們自行練習，下面對裂項相消求和法的應用簡單舉例：

例5 （2019年浙江卷）設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=4，a4=S3，數列{bn}滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數列.

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

解析：（1）an=2n-2，bn=n2+n.（過程略）

所以C1+C2+C3+…+Cn＜2

說明：本題第（2）問求解中通過先放縮，再裂項相消求和，放縮的工具利用了不等式的性質.

另外，數列問題常與不等式、函數、導數等交匯考查，成為高考試卷的壓軸題.總之，數列的復習，圍繞“一個中心，兩個基本點”展開，必能收到事半功倍之效.F