不等式“ex≥x+1”的妙用

湖北省宜城市第一中學(xué) 吳慶豐

高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)作為大學(xué)的重要知識(shí)銜接點(diǎn)，在高考中是必考的重點(diǎn)知識(shí)，也是難點(diǎn)知識(shí)，在高考考綱中是必考專題，在小題和大題中均有所考查，并且考法多種多樣，特別是大題的壓軸題，基本上是以導(dǎo)數(shù)作為切入點(diǎn)，來解決高中數(shù)學(xué)問題，比如函數(shù)的性質(zhì)、不等式、數(shù)列等.

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決不等式問題是常考的知識(shí)，在很多高考題和高考模擬題中，往往與不等式ex≥x+1有關(guān).

一、結(jié)論的呈現(xiàn)與拓展

1.不等式

當(dāng)x∈R時(shí)，恒有ex≥x+1.

結(jié)論證明：利用構(gòu)造函數(shù)方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)應(yīng)用可以證明，設(shè)f（x）=ex-（x+1）?f′（x）=ex-1，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f ′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減.所以f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1.

2.由ex≥x+1拓展到類似結(jié)論不等式

（1）當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，恒有l(wèi)n（x+1）≤x；

（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有l(wèi)nx≤x-1；

說明：（1）、（2）兩式可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，也可利用ex≥x+1結(jié)論兩邊取自然對(duì)數(shù)；（3）可利用（2）的結(jié)論，把x替換為即可證明.

二、案例分析

例1 已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最值；

（Ⅱ）當(dāng)n∈N*，證明

解析：（Ⅰ）f（x）max=f（1）=0，無f（x）min.過程略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知lnx-x+1≤0?lnx≤x-1（前面結(jié)論），可變形為ln（x+1）≤x（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）.

點(diǎn)評(píng)：本題用導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)解決函數(shù)的最值問題，利用結(jié)論來解決數(shù)列不等式問題，難點(diǎn)在于學(xué)生沒有找到函數(shù)與數(shù)列的銜接點(diǎn).

例2 （2017年全國(guó)卷Ⅲ理21）已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx.

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；

（Ⅱ）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)n∈N*，恒有，求m的最小值.

解析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.

由f′（x）＞0?x＞a，f（x）的增區(qū)間為（a，+∞），減區(qū)間為（0，a），即f（x）min=f（a）=a-1-alna.

又因?yàn)閒（1）=0，所以當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥0恒成立，故a=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）=x-1-lnx＞0?l nx＜x-1，取，則，所以ln，即恒成立.而故m的最小值為3.

點(diǎn)評(píng)：本題突破口在于發(fā)現(xiàn)f（1）=0得出a的值，難點(diǎn)在于得到結(jié)論，由結(jié)論找到數(shù)列不等式，最后利用數(shù)列的放縮法得到定值，需要學(xué)生熟悉函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系.

例3 （2019年湖北黃岡中學(xué)高考模擬）已知函數(shù)f（x）=｜x-a｜-lnx（a＞0）.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

解析：（Ⅰ）運(yùn)用零點(diǎn)法，把函數(shù)f（x）的解析式進(jìn)行分段表示，然后利用導(dǎo)數(shù)，判斷每段函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a=1，x＞1時(shí)，x-1-lnx＞0，則lnx＜x-1，變形得到所以

點(diǎn)評(píng)：本題學(xué)生難點(diǎn)在第Ⅰ問討論不清.第Ⅱ問依然是用結(jié)論lnx＜x-1變形，還要求學(xué)生熟悉數(shù)列的基本知識(shí)點(diǎn).

例4 （2019年湖北高考模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx+

①討論f（x）的單調(diào)性；

②若x1，x2為f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：

解析：①討論略.

②由①知a＜-2且x1+x2=-a，x1x2=1，故，故只需證明令，則t＞1，原不等式等價(jià)于lnt＜t-1對(duì)t＞1成立，即轉(zhuǎn)化結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用作差法比較大小及構(gòu)造函數(shù)證明不等式是解題的關(guān)鍵，最終也轉(zhuǎn)化為結(jié)論：lnx＜x-1的應(yīng)用，屬于難題.

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

解析：（Ⅰ）求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可得到最小值.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，數(shù)列不等式的證明，屬于難題.在證明不等式時(shí)，往往要根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的增減性、極值或者不等式的放縮法，來證明所給不等式，技巧性雖然比較強(qiáng)，但還是結(jié)論的應(yīng)用，需要多加練習(xí)總結(jié).

三、規(guī)律總結(jié)

其實(shí)，數(shù)學(xué)雖然邏輯推理嚴(yán)密、思維抽象及應(yīng)用廣泛，但還是有規(guī)律可循，平時(shí)解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，只要多反思、多總結(jié)，一定能找到更好、更實(shí)用的結(jié)論和方法，回歸知識(shí)原本，就能更好地解決數(shù)學(xué)問題，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).W