高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的理論思考與實(shí)踐反思*

江蘇省南京市第九中學(xué) 張翼飛

深度學(xué)習(xí)是當(dāng)下最為流行的概念之一，一個(gè)很重要的原因就在于深度學(xué)習(xí)能夠?qū)Ξ?dāng)前的教學(xué)方式進(jìn)行有益的矯正：深度學(xué)習(xí)的“深度”二字，對(duì)于當(dāng)前充斥于課堂的淺度學(xué)習(xí)而言，無(wú)論是從學(xué)生的思維角度來(lái)看，還是從學(xué)習(xí)結(jié)果的角度來(lái)看，都意味著重要的變化.本文以高中數(shù)學(xué)學(xué)科為例，談?wù)劰P者的一些理論思考與實(shí)踐反思.

一、高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的理論例析

深度學(xué)習(xí)的概念最早源自于人工智能研究，計(jì)算機(jī)專(zhuān)家想讓機(jī)器模擬人類(lèi)進(jìn)行學(xué)習(xí)，他們就研究人類(lèi)的學(xué)習(xí)機(jī)制，并且努力讓機(jī)器具有這樣的機(jī)制.在這樣的研究過(guò)程中，專(zhuān)家們發(fā)現(xiàn)按照一定的思路或者程序進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的效果更佳.這種思路及程序后來(lái)被總結(jié)為深度學(xué)習(xí).對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，深度學(xué)習(xí)主要體現(xiàn)在思維上，如果學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)或者解決問(wèn)題的過(guò)程中，能夠按照知識(shí)建構(gòu)或者問(wèn)題解決的規(guī)律進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣的學(xué)習(xí)就是深度學(xué)習(xí).

例如，在“函數(shù)”概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，第一個(gè)內(nèi)容是函數(shù)的概念和圖像.比較不同版本的教材，可以發(fā)現(xiàn)共同的設(shè)計(jì)思路，那就是給學(xué)生提供一個(gè)生活中的函數(shù)實(shí)例，然后讓學(xué)生去研究，并且通過(guò)分析與綜合的思路，概括出函數(shù)的特征，然后得出函數(shù)的定義.其中常見(jiàn)的例子有：某個(gè)城市人口數(shù)量與年份的關(guān)系；做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的下落距離與時(shí)間的關(guān)系等.以自由落體為例，可以這樣表述：一個(gè)物體從靜止開(kāi)始下落，下落的距離y與下落時(shí)間x，滿足y=4.9x2的關(guān)系，如果某一個(gè)物體下落時(shí)間是2秒，那么它下落的距離是多少？

面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的第一反應(yīng)往往是基于等量關(guān)系去直接求解，而從函數(shù)概念教學(xué)的角度來(lái)看，教師則應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)問(wèn)題中存在的兩個(gè)變量，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)變量確定以后，另一個(gè)變量的值也隨之確定.這就意味著這個(gè)問(wèn)題涉及一個(gè)確定的函數(shù)，在通過(guò)對(duì)多個(gè)例子進(jìn)行分析之后，明確了這一認(rèn)識(shí)，就可以建立函數(shù)的概念與定義.

這樣的一個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是從變量及其對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的.學(xué)生在分析一個(gè)例子的時(shí)候，這種認(rèn)識(shí)可能不夠明顯，但通過(guò)多個(gè)例子的分析與綜合，學(xué)生往往能夠概括出其中的這一特點(diǎn).在這樣的一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生超越了直覺(jué)的計(jì)算，將思維鎖定在變量及其關(guān)系上，這就是思維的深入，打開(kāi)了深度學(xué)習(xí)的大門(mén)；其后通過(guò)分析、綜合與概括，建立了函數(shù)認(rèn)識(shí)，意味著思維更具有深度；學(xué)生用集合的語(yǔ)言，總結(jié)出相關(guān)的實(shí)例所具有的共同特點(diǎn)，也就是兩個(gè)非空數(shù)集A和B，存在著某種對(duì)應(yīng)法則，使得集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，于是函數(shù)的定義就在學(xué)生的深度學(xué)習(xí)當(dāng)中呼之欲出.

二、高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐案例

以上這個(gè)例子是在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合深度學(xué)習(xí)的相關(guān)理論進(jìn)行的分析，通過(guò)比較研究可以發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)論是概念規(guī)律的教學(xué)，還是問(wèn)題解決的教學(xué)，只要能夠引導(dǎo)學(xué)生的思維在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入，就可以叩響深度學(xué)習(xí)的大門(mén).具體到數(shù)學(xué)課堂上，深度學(xué)習(xí)的實(shí)施也存在一些技巧.

例如，在“函數(shù)的表示方法”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，如果采用傳統(tǒng)的思路，就是將列表法、解析法和圖像法分別教給學(xué)生，而在深度學(xué)習(xí)的視角下，教師可以通過(guò)實(shí)例的分析引導(dǎo)學(xué)生，在開(kāi)放教學(xué)的思路之下去探究函數(shù)的表示方法.具體教學(xué)過(guò)程如下：

第一步，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考.

給出的問(wèn)題不宜過(guò)于復(fù)雜，例如：小明去超市購(gòu)買(mǎi)飲料，如果飲料的數(shù)量用x表示，需要的錢(qián)數(shù)用y表示，如果每瓶飲料2元錢(qián)，且購(gòu)買(mǎi)的飲料在5瓶之內(nèi)，那么該函數(shù)如何表示？這個(gè)問(wèn)題情境簡(jiǎn)單，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)y與x之間的關(guān)系，也能夠從題目中看出函數(shù)的定義域與值域，因此，這個(gè)思考過(guò)程相對(duì)比較簡(jiǎn)單.

第二步，分析解決問(wèn)題，歸納表示方法.

在尋找表示方法的時(shí)候，學(xué)生的第一反應(yīng)往往是解析式，也就對(duì)應(yīng)著解析法.在解析法得到成功運(yùn)用之后，教師應(yīng)當(dāng)提出問(wèn)題：除了這種方法，有沒(méi)有其他的表示方法？這個(gè)問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行深入思考，進(jìn)而走向深度學(xué)習(xí)的過(guò)程.根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，絕大多數(shù)學(xué)生的第一反應(yīng)往往是：還有其他的表示方法嗎？也有學(xué)生認(rèn)為，既然已經(jīng)有了一種表示方法，就不需要再尋找其他的表示方法了.無(wú)論學(xué)生提出什么樣的問(wèn)題，或者是有什么樣的觀點(diǎn)，教師都應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到這是深度學(xué)習(xí)的重要契機(jī).筆者在教學(xué)中就明確告訴學(xué)生：函數(shù)的表示方法不是唯一的，不同的表示方法都有著自身的優(yōu)點(diǎn)和不足，我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)任務(wù)就是要發(fā)現(xiàn)不同的表示方法，認(rèn)識(shí)它們的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn).

通過(guò)這樣的引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)開(kāi)始進(jìn)行深入的思考.通過(guò)自主思考與合作學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，比如有的小組的學(xué)生就抓住“對(duì)應(yīng)”（來(lái)自對(duì)應(yīng)法則）這個(gè)關(guān)鍵詞，將問(wèn)題中的飲料瓶數(shù)1、2、3、4、5列出來(lái)，然后分別列出對(duì)應(yīng)的價(jià)格，這實(shí)際上就是列表法的雛形；當(dāng)然也有學(xué)生會(huì)想到函數(shù)的圖像，并且能夠迅速作出函數(shù)的圖像，只不過(guò)當(dāng)函數(shù)圖像以直線的形式出現(xiàn)時(shí)，有同學(xué)會(huì)提出異議，因?yàn)樵瓉?lái)的問(wèn)題具有定義域.而在確定了定義域之后，還有學(xué)生提出問(wèn)題：飲料瓶數(shù)不可能是小數(shù)，那這個(gè)函數(shù)的圖像就不應(yīng)當(dāng)是一條線，而應(yīng)當(dāng)是5個(gè)點(diǎn)……很顯然，在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的思維是非常深入的，在上面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，也可以順利地總結(jié)出解析法、列表法和圖像法.相對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程而言，在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的自主性得到了保證，學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的思維也非常深入，他們通過(guò)自主探究，發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的多種表示方法，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程無(wú)疑是一個(gè)深度學(xué)習(xí)的過(guò)程.

第三步，進(jìn)行變式運(yùn)用，體驗(yàn)表示方法.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，深度學(xué)習(xí)往往還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上.數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用有兩種情形：一種是同類(lèi)情境中的直接運(yùn)用；另一種是變式思路下的間接運(yùn)用.相比較而言，后者與深度學(xué)習(xí)的關(guān)系更加密切.

在上面的例子中，教師可以讓學(xué)生在三種函數(shù)表示方法的理解基礎(chǔ)之上，自己去尋找有哪些函數(shù)可以用這三種方法來(lái)表示.學(xué)生剛開(kāi)始認(rèn)為每一個(gè)函數(shù)都可以用三種方法來(lái)表示，后來(lái)在舉出了實(shí)例之后發(fā)現(xiàn)，理論上的合理性與實(shí)際的合理性并不完全對(duì)應(yīng)，比如有些函數(shù)用圖像法會(huì)更加直觀，而用解析法還是一樣的抽象，最典型的就是分段函數(shù)，例如該函數(shù)是過(guò)原點(diǎn)且平分第一、第二象限的一條折線，學(xué)生對(duì)該函數(shù)的內(nèi)涵一目了然.而如果只看解析式，大腦里面還是要去想象它對(duì)應(yīng)的圖形是什么樣子.學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上就是對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)而言，解析法與圖像法的優(yōu)劣的判斷，在筆者看來(lái)，這也可以視作深度學(xué)習(xí)的一種體現(xiàn).

三、高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的案例反思

在高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐中，筆者曾經(jīng)有過(guò)兩個(gè)層次的思考：

第一個(gè)層次：要增加學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的深度，是不是就是增加學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的難度.這是一個(gè)很自然的邏輯，如果增加了學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度，那學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中自然會(huì)進(jìn)行更加深入的思考，那思考深入是不是就是對(duì)應(yīng)著深度學(xué)習(xí)呢？在這個(gè)問(wèn)題的自省之下，筆者對(duì)所實(shí)踐的案例進(jìn)行了反思，發(fā)現(xiàn)結(jié)果并不完全如此.

例如在上面的變式例子中，分段函數(shù)本身并不是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，學(xué)生理解起來(lái)并不困難，但是一樣可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).分析其中的原因，筆者有一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，那就是學(xué)習(xí)內(nèi)容自身并不一定需要很大的難度，關(guān)鍵在于學(xué)習(xí)內(nèi)容能否促進(jìn)學(xué)生深入的思考，上面的例子中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)同一函數(shù)的不同表示方法有不同的理解結(jié)果時(shí)，深度學(xué)習(xí)就已經(jīng)發(fā)生了.也因此可以肯定，難度與深度并不完全是一回事，高中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)不能完全通過(guò)難度來(lái)體現(xiàn).

第二個(gè)層次：深度學(xué)習(xí)要緊扣思維來(lái)進(jìn)行.這個(gè)結(jié)論是建立在上述分析基礎(chǔ)之上的，在實(shí)際教學(xué)中，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)的時(shí)候，固然要思考教學(xué)內(nèi)容，但更要研究學(xué)生，尤其是學(xué)生的思維起點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)即使是實(shí)施深度學(xué)習(xí)，也可以結(jié)合最近發(fā)展區(qū)來(lái)考慮，判斷學(xué)生思維有可能達(dá)到的高度，然后去實(shí)施深度學(xué)習(xí)，效果會(huì)更加理想.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，深度學(xué)習(xí)的實(shí)施是對(duì)原有的淺度學(xué)習(xí)的有效矯正，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合自己的實(shí)踐案例進(jìn)行分析與反思，這樣才能讓深度學(xué)習(xí)在日常教學(xué)中落地生根，而且能夠有效地提高教學(xué)效率，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的提高.W