中考數(shù)學(xué)勾股定理解題探究

摘?要：勾股定理作為最基本的幾何定理，不僅是初中生必學(xué)的學(xué)習(xí)知識(shí)，同時(shí)也是中考的考點(diǎn)之一，它不僅揭示了直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)也幫助學(xué)生得到了思維能力的提升。為此，本文主要從教材、學(xué)情、過程、方法等內(nèi)容對(duì)勾股定理進(jìn)行數(shù)學(xué)探究分析，通過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：中考;數(shù)學(xué)解題;勾股定理

一、 《勾股定理》教學(xué)分析

（一） 合作交流

為充分提高學(xué)生的課堂參與性，我們可以讓每一個(gè)同學(xué)在紙上畫一個(gè)任意的直角三角形，然后讓學(xué)生進(jìn)行三條邊的測(cè)量，從而計(jì)算三邊長(zhǎng)的平方，讓學(xué)生猜一猜他們?nèi)齻€(gè)之間的數(shù)量關(guān)系，隨后讓小組選擇一名優(yōu)秀代表以課堂老師的身份進(jìn)行這一知識(shí)內(nèi)容的講解，這樣既可以落實(shí)學(xué)生的課堂主體地位，同時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)相互促進(jìn)、共同發(fā)展的教學(xué)局面。

（二） 情境創(chuàng)設(shè)

對(duì)于初中的教育教學(xué)而言，除了讓學(xué)生掌握牢固的數(shù)學(xué)知識(shí)外，還要讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)，為此，在進(jìn)行勾股定理這樣一節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，我們可以為學(xué)生提供剪刀、紙板等道具，讓學(xué)生利用四個(gè)三角形進(jìn)行一個(gè)正方形的搭建，在數(shù)學(xué)建模中讓學(xué)生進(jìn)行勾股定理的猜想驗(yàn)證，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。

二、 《勾股定理》解題策略

（一） 深化教材，選擇解析

勾股定理對(duì)于中考而言，一方面來源于選擇題、填空題，另一方面則是應(yīng)用題的證明，我們可以從以下幾方面進(jìn)行分析總結(jié)：

1. 在一張直角三角形的紙片中，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm。現(xiàn)在將△ABC折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（??）

A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm

分析：由于兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，我們可以得出AB=10cm，將△ABC折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，我們可以知道BE=AE=5cm，所以選擇B，利用軸對(duì)稱知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行這一勾股定理數(shù)學(xué)知識(shí)的解決，在分析中鍛煉學(xué)生的思維能力。那么，在進(jìn)行這一問題的解決時(shí)，我們可以充分利用實(shí)踐操作，讓學(xué)生通過動(dòng)手進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的提升，從而深化學(xué)生的理解程度。

2. 在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D并且AB=4，BD=5，則點(diǎn)D到BC的距離為（??）

A. 5B. 3C. 4D. 9

分析：在Rt△ABC中，我們可以根據(jù)勾股定理得：DA=BD2-AB2=52-42=3，又因?yàn)镈為∠ABC的角平分線上的點(diǎn)，它到BA，BC邊的距離相等，所以我們可以知道點(diǎn)D到BC的距離等于DA之長(zhǎng)為3，通過利用角平分線這一定理內(nèi)容使得這一數(shù)學(xué)勾股問題得以解決，在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)融合中活化學(xué)生的思維建設(shè)。為此，我們可以通過數(shù)與形的結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，在數(shù)學(xué)建模中活化學(xué)生的思維建設(shè)。

（二） 證明判定

1. 利用勾股定理求解線段問題

對(duì)于初中勾股定理這一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，“線段求長(zhǎng)”這一問題可以說是最常見的一種形式，不論是在選擇還是填空都會(huì)有所涉及，那么對(duì)這一種問題而言，倘若沿用傳統(tǒng)的方式不僅會(huì)增大解題難度，同時(shí)也會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而勾股定理就不同了，它可以有效將這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在直觀化的展示中通過觀察分析使得這一問題得以解決。如在三角形ABC中，已知∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于相互平行的三條直線l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2與l3之間的距離為3，求AC的長(zhǎng)度。

解題分析：我們可以過點(diǎn)A作l3的垂線交l3于點(diǎn)D，然后再過點(diǎn)C作l3的垂線交l3于點(diǎn)E，由已知條件，我們可以得出∠ABC=90°，AB=BC這一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，從而我們可以知道Rt△ABD與Rt△BCE全等，所以AD=BE=3，DB=CE=5;進(jìn)而得出AB2=BC2=32+52=34，在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，所以AC=217。在這一數(shù)學(xué)應(yīng)用中，對(duì)于求解線段長(zhǎng)度這一問題而言，它的運(yùn)用不僅可以簡(jiǎn)化解題思路，同時(shí)也大大提高了學(xué)生的思維建設(shè)。

2. 利用勾股定理求解面積問題

在中考中面對(duì)勾股定理這一數(shù)學(xué)考點(diǎn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它的出現(xiàn)通常是以綜合性的形式展示在我們的面前，不僅會(huì)涉及四邊形、全等三角形，同時(shí)也會(huì)涉及角等綜合性數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于面積的證明題而言，出現(xiàn)在中考?jí)狠S的概率非常大，就好比這一常見的問題分析：

在三角形ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，現(xiàn)在將三角形ABD沿著AB所在的直線進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，將三角形ACD沿著AC所在的直線折疊，使得點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)M，求：

（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明。

（2）若BD=1，CD=2，試著求四邊形AEMF的面積。

解題分析：通過折疊的操作，我們可以發(fā)現(xiàn)一些相等的量和變化的量，從而可以借助背景中的角度構(gòu)建出直角及相等的邊，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)四邊形的形狀，通過直角三角形的勾股定理求解邊長(zhǎng)，從而得出面積。如：

解1：因?yàn)锳D⊥BC，而△AEB是由△ADB折疊所得，所以∠BAD=∠EAB，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD，又因?yàn)椤鰽FC是由△ADC折疊所得，所以∠DAC=∠FAC，∠F=∠ADC=90°，F(xiàn)C=CD，AF=AD，所以AE=AF，又因?yàn)椤螧AD+∠DAC=45°，所以∠EAB+∠FAC=45°，所以∠EAF=90°，由此可以得出，四邊形AEMF為正方形。

解2：設(shè)正方形AEMF的邊長(zhǎng)為x，依據(jù)題意知：BE=BD，CF=CD

所以BM=x-1;CM=x-2

在Rt△BMC中，由勾股定理得出：BC2=CM2+BM2

所以（x-1）2+（x-2）2=9，x2-3x-2=0

解之得：x1=3+172?x2=3-172（舍去）

所以S正方形AEMF=3+1722=13+3172

3. 利用勾股定理求解角度問題

在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，求角問題是勾股定理問題解決的常見現(xiàn)象，如何讓學(xué)生掌握這一知識(shí)內(nèi)容，夯實(shí)學(xué)生對(duì)勾股定理這一數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，我們可以通過分析求角這一種題型，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。如：在等邊三角形ABC中，有一點(diǎn)P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？

解題分析：對(duì)于這一問題，我們可以先把三角形APC繞著點(diǎn)A做旋轉(zhuǎn)，從而旋轉(zhuǎn)至三角形ABQ，讓AB和AC能夠重合，此時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)AP=AQ=3，BQ=PC=5，∠PAQ=∠BAC=60°，從而進(jìn)行這一角度問題的解決。

由此可以得出，△PAQ為等邊三角形，所以PQ=3;在三角形PBQ當(dāng)中，PB、BQ分別等于4、5，所以，三角形PBQ為直角三角形，其中∠BPQ=90°;所以∠APB=∠BPQ+∠APQ=90°+60°=150°。在進(jìn)行這一問題的解決時(shí)，為有效提高學(xué)生的課堂參與性，我們可以讓學(xué)生先做假設(shè)，然后做出步驟講解，從而使得學(xué)生在計(jì)劃性解決思路中得到數(shù)學(xué)能力的提升。

4. 利用勾股定理進(jìn)行函數(shù)資源整合

對(duì)于中考而言，如果單單設(shè)計(jì)勾股定理這一知識(shí)內(nèi)容基本上都處于填空選擇之類的題型，對(duì)于證明題必然會(huì)涉獵多元素?cái)?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，在資源整合中考查學(xué)生對(duì)勾股定理的掌握，這樣既可以鍛煉學(xué)生的思維建設(shè)，又可以優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)證明推導(dǎo)中得到數(shù)學(xué)能力的綜合提升。

三、 淺談《勾股定理》與三角形知識(shí)整合

為有效提高學(xué)生對(duì)勾股定理這一數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，我們可以通過勾股定理與數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系為學(xué)生分析這一板塊內(nèi)容，在知識(shí)的聯(lián)系中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)與形之間的關(guān)系，從而為學(xué)生掌握勾股定理、運(yùn)用勾股定理解決數(shù)學(xué)問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)條件，通過對(duì)三角形知識(shí)的整合使得學(xué)生對(duì)勾股定理這一知識(shí)有一個(gè)深入的掌握，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)使得學(xué)生得到數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力的拓展。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

李保民，甘肅省蘭州市，甘肅省蘭州樹人中學(xué)。