當概率教學遇上兩難尷尬

林煜珍

摘 要：《義務教育數學課程標準（2011版）》的總目標的第一條：通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！皵祵W基本活動經驗”是具有本質特征和基本重要性的一些數學活動經驗，涉及一些具有程序、步驟、路徑的可操作的“方法”，處于較高的層次。就此，結合“用分數表示可能性大小”的幾個片段，通過對比與分析，探索在概率教學中，怎樣設計和實施數學教學活動，可有效幫助小學生獲取并積累“數學基本活動經驗”。

關鍵詞：數學基本活動經驗;數學教學活動設計;概率教學

新課程改革推進至今，一線的教師對新課改的許多理念已經達成了許多共識，但在實踐層面，教師經常會產生“形似而神不似”的教學尷尬。在“用分數表示可能性的大小”教學中也出現了學生學得困難、教師教得困難的兩難尷尬。而且很多老師對此也存在不少爭議，這引起了筆者的關注。

一、爭議1：“分數表示可能性的大小的內涵”的教學環節

師：盒子中有1個白球和1個紅球，從這個盒子中摸到紅球的可能性是多少呢？

生1：一半。

師：用你們學過的數表示可能性“一半”，可以怎么表示？

生2：1/2。

【片段一】

師：你是怎么想的？

生：因為盒子中的紅球個數占總數的1/2，所以摸到紅球的可能性是1/2。

師：紅球的個數占總數的1/2，就說摸到紅球的可能性是1/2嗎？

【片段二】

師：1/2中的2表示什么？1又表示什么？

生：2表示盒子中球的總數，1表示只有1個紅球

這兩個片段都因沒很好處理分數的內涵不免使其遜色幾分。筆者覺得這里沒有教師真正的引導分析，沒有學生真正的思考推理，顯然，對用分數表示可能性大小的內涵只是似是而非的理解。

二、爭議2：“用試驗來驗證”的教學環節

師：在拋硬幣試驗中，正面朝上的可能性是多少呢？

生：1/2。

教師安排試驗驗證：經電腦合計，結果顯示如下

出示科學家的試驗結果

師：科學家們經過無數次實驗，發現：正面朝上或反面朝上的次數接近總次數的1/2，可以用1/2來表示正面朝上或反面朝上的可能性。

這個片斷的教學過程從表面上看，體現了該教師科學的數學研究方法：猜想——驗證。但是我們發現，拋硬幣的試驗雖然能較好地詮釋正面朝上或反面朝上的可能性相等，而解釋為什么用1/2表示應建立在此基礎上的進一步推理，可惜的是教師直接得出了結論，這樣不免顯得牽強附會。因此，筆者認為，這樣的活動沒有很好地實現驗證目的。通過研究發現主要有以下兩種觀點：

（一）不主張試驗

1.像拋硬幣這樣的隨機試驗必須在同樣的條件下進行，而由不同的學生做試驗，導致每次拋硬幣的高度或力度都不同，把不同條件下的試驗數據相加不符合試驗原理，沒有統計意義。

2.中低年級多做試驗，讓學生在試驗中體驗試驗結果的不確定性與規律性。高年級的學生不宜在課堂上花費過多的時間做試驗，宜從等可能性的角度分析可能性的大小。

3.既然越分析越糊涂，不如把一些事件發生的等可能性，作為一種經驗或常識來處理，不要去驗證它，而是默認它，有了這個前提就能進行相關的分析、判斷與推理。

（二）主張試驗

1.概率學習的一個首要目標是使學生不斷體會隨機現象的特點，而這需要學生在親自試驗中，通過對試驗結果的分析不斷體會。

2.試驗時要控制的是明顯影響試驗結果的因素，而非所有因素。比如硬幣被拋出的角度和正反面是否均勻才是明顯的。而拋硬幣時的力度、高度以及是否同一個人則是不明顯的。

3.不能無視目的而談理想狀態的試驗，如果從純學科的角度看，完全相同條件在現實中即便同一個人也很難。每次都是完全相同的高度、力度、角度是很難實現的，因此具有統計意義。

三、設計和實施數學教學活動，促進獲取“數學基本活動經驗”

從以上的案例中，我們發現，在概率教學中，學生學得“困難”，教師教得“困難”，可謂是遇上了兩難尷尬。就此，我們先來研究一下相關的教材內容。教材的編寫更多地考慮普適性，賦予教師一定的使用彈性。教學的目的在于學生的有效學習與良性發展，忽視了這一點，任何花樣百出的教學方法都是無效的。有時課堂上會出現：為了活躍課堂氣氛，在學生體驗“一定、不可能”時，設計了這樣一個活動：每個小組都有一個袋子，裝有若干個紅球和白球。

1.每人每次只能摸出一個球，再放回，重復6次，哪個小組摸到紅球的次數多，哪個小組獲勝。

2.匯報結果：有的摸到的都是紅球，有的摸到的都不是紅球。

3.討論為什么出現這樣的結果。

生1：都是紅色的______________。生2：紅色的多，其他的少_____________。

4.打開盒子驗證猜測正確與否（結果卻是唯一的）。

這樣的教學，學生積極參與，課堂氣氛活躍。但在后繼的學習中，有些學生認為：如果連續幾次從盒子中摸到白球（又放回），就認為盒子中裝的一定是白球，而實際上有時只是碰巧而已。因此，筆者認為：切勿為了活躍課堂氣氛而隨意安排試驗活動?；顒硬僮鞯囊饬x不僅在于動手活動，更在于探究明理，在操作技能的教學中，教師不僅要關注活動的形式怎樣，學生參與操作活動的興致有多高，更要關注學生在操作活動中是否進行了理性思考，否則只是走過場，徒勞無功。

（一）從教材的核心價值設計數學教學活動

概率是研究隨機現象的科學，隨機現象是指這樣一種現象：在相同的條件下重復同樣的試驗，其試驗結果不確定，以至于在試驗之前無法預料哪一個結果出現，但大量的重復試驗后，其結果就會趨于一定的規律。進而對于一個隨機事件可能出現的結果，如果只有有限種且各種結果出現的可能性大小相等，那么這個隨機事件即符合古典概型（可以說等可能是用分數表示古典概型中事件發生的可能性大小的前提）。假設事件A的所有等可能事件共有N個，其子事件B包含的等可能事件有M個，那么根據古典概型，事件B發生的可能性是M/N。

小學階段學習這一部分的內容，主要是為了促進學生獲取“隨機”的基本活動經驗。教材中無論從二年級的初步感受不確定現象還是到五年級的定量分析不確定現象，始終圍繞著這個核心價值逐一展開。因此，數學教學活動的設計應能抓住教材內容的核心價值。

（二）從教材的傳承性來設計數學教學活動

教學內容是數學課堂教學的基礎環節，如果只是關注某節課的內容容易導致思維局限于某一個知識點而無法突破，特別對于北師大版的教材，每一模塊的內容乍一看是靜止的，但對于這一模塊各個學段的內容都存在著豐富的動態結構，層層遞進，在統計與概率中同樣存在著千絲萬縷的關系，因此教師應關注教材的縱橫聯系，從教材的傳承性來設計數學教學活動。雖然概率學習的一個首要目標是學生不斷體會隨機現象的特點，不確定性對學生來說是全新的思想，如果缺乏對不確定現象的豐富體驗，學生往往較難建立這一思想。為此，教材主要結合具體的情境，直觀認識不確定現象。同時教材非常重視學生的動手操作，鼓勵他們在實際的操作活動中感受不確定現象的特點，然后抽象，實現內化。

二年級上冊，教材通過有趣的“猜測活動”，使學生在實際操作中初步感受到不確定現象的特點。三年級上冊的教材安排了“摸球活動”，使學生感受事件發生的可能性是有大小的。三年級下冊又安排了“轉轉盤活動”，讓學生預先猜測指針會停在哪一個區域內，然后動手旋轉轉盤。通過多次的旋轉后，學生逐漸體會到指針落在陰影區域和落在白色區域的次數是不一樣的。到此，學生不僅對可能性有了較深的感性認識，而且能列出簡單試驗所有可能發生的結果。在積累了以上的“數學基本活動經驗”的基礎上，四年級下冊的教材中的“游戲公平活動”中，緊緊抓住“可能性相等”這一概念，可以說，等可能的學習為進一步學習用分數表示可能性大小做好了必要準備。五年級上冊教材安排的“用分數表示可能性的大小”，只是實現對可能性的認識由定性感受到定量刻畫的自然過渡而已?；趯W生原有的知識經驗和生活經驗，用一個分數表示可能性的大小似乎是“水到渠成”。但是我們會發現由于“概率”的抽象性，學生對其所用分數的內涵卻是模棱兩可，而且也存在形形色色的潛在的對可能性的模糊認識。所以怎樣讓他們那些不太正規的知識與體驗上升發展為科學的結論，理解怎樣用分數表示可能性大小的方法與內涵。因此，可能性的大小不宜簡單地用解決確定性問題的“猜想——驗證”模式來教學，而應該充分展開。

如教師問及為什么可以用表示摸到紅球的可能性時，教師不應該完全放手，應該引導學生進行分析。

1.任意摸一個球，我們能事先確定哪種顏色的球嗎？

2.這些球除顏色外盡管是一樣的，但它們卻是不同的球，為了區分，給它們編上號碼。

3.可能出現哪些情況呢？

（可能摸出白球，也可能摸出紅球——簡單列出可能事件）

4.每個球摸到的可能性一樣嗎？

（每個球被摸到的可能性相等——等可能）

在此基礎上引導學生推理：從摸球的情況來看，共有2種可能。因為紅球只有1個，摸到紅球的可能只有1種，因此摸到紅球的可能性是1/2。像這樣，教師利用知識的傳承性進行引導，把學生從對球的個數的探究轉化成對摸球的可能性事件的探究中，使學生真正理解用分數表示可能性大小的內涵。當然，隨著教學的推進，還可以借助生活經驗，在充分的觀察比較中，體會用分數表示可能性大小和用分數表示其他事物大小有什么不同，結果相等和機會相等有什么不同，激起學生的認知沖突，讓學生在對比中進一步理解可能性的意義。激發學生的能動性，達到以動手促進思維，以思想延伸動手，促進“數學基本活動經驗”獲取。

（三）從探究的目的性來設計數學教學活動

概率的現實教學大多以活動體驗為主，而活動體現的次數總是有限的。那么如何在有限的操作活動中使學生產生有效的感受體驗，使學生進行有效的抽象和內化是至關重要的。如爭議2的片斷中，雖然用少數的試驗來驗證猜測的策略有失考慮，但認真分析這個試驗的價值，我們不難發現：它無形中滲透著這樣一種思想：試驗少的時候，試驗結果不一定與預測可能性大小相符。但隨著試驗次數的增加，試驗結果將越來越接近預測的可能性大小。雖然從教材的編寫來看，并不強調頻率與概率的關系，但是讓學生了解這兩者的關系，也將成為認識概率逐步完善的過程?？傊瑥奶骄康哪康男詠碓O計數學活動，從數學的內在聯系入手，從思維原點出發的教學，進一步幫助小學生獲取并積累“數學基本活動經驗”。

參考文獻：

[1]陳玉英.基于學生數學活動經驗的中學（初中）概率教學實踐研究[D].四川師范大學，2014.

[2]孔德鵬，端木彥.基于數學基本活動經驗教學設計的整體分析：以“隨機事件及其概率”為例[J].中國數學教育，2017（20）：2-5.

編輯 張佳琪