走向“研究”的初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課

薛秋萍

背景描述

專題研究課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型之一，是教學(xué)過程中不可或缺的重要部分。專題復(fù)習(xí)既能夠系統(tǒng)地加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和記憶，又可以對(duì)前面學(xué)習(xí)中遺漏的知識(shí)進(jìn)行填補(bǔ)和完善。所以說，高質(zhì)量的專題復(fù)習(xí)課可以促進(jìn)學(xué)生各種能力的發(fā)展。

在以往的觀課中，我發(fā)現(xiàn)很多教師所開設(shè)的專題復(fù)習(xí)課卻是習(xí)題課。課堂上，學(xué)生們埋頭題海，老師也僅是陪練而已。一節(jié)課下來，會(huì)做的再做了一遍，不會(huì)的仍然不會(huì)。那么如何設(shè)計(jì)專題復(fù)習(xí)課，讓專題課真正起到應(yīng)有的作用呢？

我在學(xué)生學(xué)習(xí)圖形相似的基礎(chǔ)上，開設(shè)了一堂“動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成有一個(gè)大小不變角的三角形的研究”的展示課。教學(xué)的定位是“辨析清楚研究對(duì)象，突出方法重選擇，滲透思想提能力”，創(chuàng)新的設(shè)計(jì)過程、豐富的學(xué)生活動(dòng)，催生了精彩的數(shù)學(xué)課堂，取得了良好的教學(xué)效果，受到了觀課老師的一致好評(píng)。

過程展示

師生對(duì)話辨析對(duì)象

（PPT展示）已知，如圖在Rt△ACB中，∠ C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn) P由 B出發(fā)沿 BA方向向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s;點(diǎn) Q由 A出發(fā)沿 AC方向向點(diǎn) C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s.若 P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0

大小不變角？生：△APQ，△BCP，△ APC師：為什么要強(qiáng)調(diào)“大小”不變？生：說明跟位置無關(guān)，只要確保大小不變即可。師：本節(jié)課，我們研究的對(duì)象就是△APQ，△BCP，△ APC這樣的有一個(gè)大小不變角的三角形。合作探究編制問題師：回憶一下，學(xué)習(xí)至今，我們對(duì)三角形的研究有哪些內(nèi)容？生：三角形的相似、三角形的現(xiàn)狀（等腰三角形、直角三角形）。師：很好，還有其他補(bǔ)充嗎？生：三角形的面積、周長(zhǎng)、三角形的邊、角等。師：現(xiàn)在，我們以△ APQ為研究對(duì)象，補(bǔ)充完整問題。在點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng) t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形 .（獨(dú)立思考、組內(nèi)合作、代表發(fā)言）生：在點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng) t為何值時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ ABC相似？是直角三角形？是等腰三角形？的面積等于△ ABC面積的一半？ ……

師：同學(xué)們，集合全班智慧，圍繞三角形的邊角及其現(xiàn)狀，編制了非常多的問題。下面請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位一起解決上述問題。

梳理知識(shí)構(gòu)建方法

師：同學(xué)們?cè)诮鉀Q上述編制的問題中，你們覺得有困難的是哪個(gè)問題？

生：（3）根據(jù)問題△ APQ是等腰三角形，因?yàn)椴幻鞔_哪兩條邊相等，所以我們對(duì)△ APQ的邊進(jìn)行分類，但是只會(huì)做AP=AQ，其他兩種沒有做出來。

師：很好，請(qǐng)坐。那么其他組有做出來的嗎？

生：我們組過點(diǎn) P作 PH ⊥ AC，借助相似算出 PH，AH，再求出 QH，進(jìn)而利用勾股定理求出 PQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三邊兩兩相等，構(gòu)建三個(gè)方程，從而求出 t的值。

師：這位同學(xué)實(shí)質(zhì)是借助代數(shù)方法，先利用勾股定理算出△ APQ的三邊，然后依據(jù)三邊兩兩相等，構(gòu)建三個(gè)方程，但是過程比較艱難。有不同的而且更有效的方法嗎？

生：當(dāng) AQ=PQ時(shí)，我們組過 Q作 QH ⊥AB，利用等腰三角形三線合一得出 AH，進(jìn)而利用△ AQH ∽△ ABC的比例線段構(gòu)建方程，求出 t的值。當(dāng) AP=PQ，同理可求出t。

師：抓住△ AQP的不變角∠ A，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，尋找相似，構(gòu)建方程，順利解決。非常簡(jiǎn)潔，漂亮！

師：請(qǐng)同學(xué)們談?wù)劇敖忸}之道”。

學(xué)生適當(dāng)交流，形成以下共識(shí)：解決有一個(gè)大小不變角的三角形的相關(guān)問題的時(shí)候，抓牢這個(gè)不變角，尋找相似或者作垂直構(gòu)建相似來解決。

師：同學(xué)們?cè)诮忸}過程中可謂左右逢源，體現(xiàn)了方法選擇的價(jià)值。下面，請(qǐng)同學(xué)們選擇有效的方法解決老師給出一些變式問題，進(jìn)而感悟問題變式的本質(zhì)。

選擇方法感悟變式

（PPT展示）

（1）當(dāng)

t為何值時(shí)，PQ ∥BC.

（2）當(dāng)

t為何值時(shí)，PQ ⊥BA.（3）如圖，以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，①當(dāng) t為何值時(shí)，平行四邊形 AQPD為矩形？②當(dāng) t為何值時(shí)，平行四邊形 AQPD為菱形？師：請(qǐng)同學(xué)們談?wù)劷鉀Q以上問題的策略。生：?jiǎn)栴}（1）（2）先畫圖定位，抓住不變角，易

找到相似三角形，從而求解。（3）利用特殊四邊形的性質(zhì)，很容易得出△ APQ的相關(guān)性質(zhì)。如平行四邊形AQPD為矩形，即 PQ ⊥ AC;平行四邊形 AQPD為菱形，即 PQ=AQ.

師：分析到位，感悟頗深。同學(xué)們?cè)诮忸}過程中，盡量做到以下三點(diǎn)：知識(shí)聯(lián)想——性質(zhì)的合理選擇;思路調(diào)控——方向的準(zhǔn)確選擇;思維引領(lǐng)——方法的靈活選擇。

師（結(jié)束語）：本節(jié)課，我們以師生合作交流的方式共同探究了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成有一個(gè)大小不變角的三角形的研究的有關(guān)問題，大家充分地體會(huì)到研究問題的一般方法，同時(shí)感悟到解決數(shù)學(xué)問題，知識(shí)是基礎(chǔ)，思想是靈魂，方法是核心。解決問題時(shí)，我們要善用數(shù)學(xué)思想方法作為指導(dǎo)，根據(jù)給出的問題條件，靈活地、恰當(dāng)?shù)剡x擇方法來解決問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，希望同學(xué)會(huì)反思會(huì)總結(jié)，會(huì)探索會(huì)研究，以此提高學(xué)習(xí)效果，實(shí)現(xiàn)自我夢(mèng)想和追求。

教學(xué)感悟

以問題編制為主要形式，在問題的設(shè)計(jì)中構(gòu)建完備知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)大師華羅庚告誡學(xué)生讀書有兩個(gè)過程，第一個(gè)過程是“由薄到厚”，第二個(gè)過程是“由厚到薄”，專題復(fù)習(xí)課就是這里的“薄”，學(xué)生不再是一無所知，而是已經(jīng)知道，且知道得十分精煉。專題復(fù)習(xí)課離不開題，但要把解題和知識(shí)梳理結(jié)合起來，為復(fù)習(xí)服務(wù)。

本節(jié)課，筆者在環(huán)節(jié)二設(shè)計(jì)了活動(dòng)——合作探究編制問題，讓學(xué)生在編制問題的同時(shí)自行梳理三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)、提煉方法、滲透思想，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)自我完善和方法體系的自我建構(gòu)。

以解決問題為主要策略，在方法的選擇中提升數(shù)學(xué)解題能力

動(dòng)點(diǎn)問題的研究要善于“察題觀圖”，依據(jù)研究的圖形特征去靈活地選擇解題方法，進(jìn)而避免計(jì)算走彎路。如“在點(diǎn) P、Q在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng) t為何值時(shí)，以點(diǎn) A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？”的求解過程中，很多同學(xué)利用代數(shù)法把三角形三邊先用 t表示出來，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三邊兩兩相等，構(gòu)建三個(gè)方程。這種方法理論上可行，但是由于計(jì)算過程過于繁瑣，導(dǎo)致學(xué)生最終半途而廢。歸其原因是學(xué)生形成了代數(shù)法求動(dòng)態(tài)等腰三角形的思維定勢(shì)。其實(shí)，觀察△ APQ的變化特點(diǎn)，抓住∠ A的不變性，構(gòu)造相似，這樣思路更自然。

在解題的十字路口，教師要引導(dǎo)學(xué)生停下腳步，細(xì)心觀察研究對(duì)象，深思熟慮后，再作出最優(yōu)化的解題的方向。在遇到一題多解時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方法特點(diǎn)作出恰如其分的評(píng)判。在教學(xué)中，教師要給學(xué)生搭建開放性思維平臺(tái)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，促進(jìn)他們相互啟發(fā)，活躍思維，

最終歸納出一些解題的策略。

以問題變式為主要手段，在思想的滲透中培養(yǎng)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想方法對(duì)指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題的作用是不可低估，其培養(yǎng)不是老師在課堂總結(jié)時(shí)強(qiáng)調(diào)一下就能輕松實(shí)現(xiàn)的，而是需要老師將其無時(shí)無刻滲透在解決問題的整個(gè)過程中。課堂上，對(duì)解題思路的分析、對(duì)解題方法的探尋，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用，又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)價(jià)值。對(duì)于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成有一個(gè)大小不變角的三角形的研究，其基本思想方法是“統(tǒng)一”，其基本思路是借助相似，將已知條件和待求結(jié)論統(tǒng)一到邊的關(guān)系上或統(tǒng)一到角的關(guān)系上，再借助相關(guān)的公式來解決，或通過作輔助線，構(gòu)造三角形相似，實(shí)現(xiàn)問題的“轉(zhuǎn)化”。

在教學(xué)中，筆者根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)特點(diǎn)靈活變式問題，既可以提高學(xué)生對(duì)題目的敏感度，又可以幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題和學(xué)習(xí)習(xí)慣。此舉措有效地提高了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，進(jìn)而提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

綜上，專題研究課的有效性研究是一個(gè)需要不斷探索、研究和完善的課題，活動(dòng)過程的設(shè)計(jì)、典型例題的精選、問題變式的深遠(yuǎn)、策略方法的總結(jié)等等都是十分重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。因此，教師在上專題復(fù)習(xí)課前，既要圍繞復(fù)習(xí)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合教材內(nèi)容精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，以例題為載體展開教學(xué)，進(jìn)而幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立方法網(wǎng)絡(luò);同時(shí)又要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)恰當(dāng)選擇解題方法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。只有這樣，學(xué)生才能脫離題海，走向研究，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而我們的課堂才會(huì)精彩靈動(dòng)、本真高效。

（太倉市第二中學(xué)）