基于IGPSO算法的狀態反饋魯棒極點配置優化

王皓

摘 要 線性反饋控制系統的性能主要由閉環極點決定，通過極點配置可以提高系統的魯棒性。本文提出通過應用改進的IGPSO化算法進行線性系統魯棒極點配置，對于條件數可以直接進行非凸問題優化計算，避免擬凸轉化。通過仿真實驗驗證了算法的有效性。

關鍵詞 優化算法 魯棒極點配置 粒子群算法

中圖分類號：O241.8文獻標識碼：A

1介紹

粒子群優化算法（PSO）是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種模擬鳥群社會行為的群體搜索算法。然而，PSO存在容易陷入局部最優的不足，為了較好的平衡PSO算法的開采能力和搜索能力，利用改進的IGPSO算法進行問題優化。針對魯棒極點配置問題，文獻[1]提出通過極小化特征向量矩陣譜條件數的方法實現狀態反饋魯棒極點配置問題。文獻[2]中分別采用線性矩陣不等式（LMI）方法優化條件數。由于條件數具有非凸性，以上方法不能保證達到全局最優。本文使用IGPSO進行線性系統魯棒極點配置， 避免擬凸轉化。

2 IGPSO算法

IGPSO算法針對粒子群算法容易陷入局部最優和收斂速度慢的不足進行改進。全局最優個體的鄰域中隨機個體相對于確定的全局最優個體更有益于PSO算法跳出局部極值。全局鄰域搜索策略：

其中：c1和c2被分別定義為認知因子和社會學習因子， 為擾動因子，r1、r2、rand和U（0，1）都為區間（0，1）上的均勻分布隨機數。g表示當前迭代次數，G表示最大迭代次數。 （g）=a·exp（b·g2）·rand。對于大多數粒子群算法的改進都是針對當前種群進行的，考慮到全局鄰域搜索策略中粒子歷史最優和全局最優粒子的鄰域的引導作用，為了增強粒子歷史最優種群的指導作用，進行全局鄰域擾動。

3狀態反饋魯棒極點配置優化

狀態反饋極點配置問題是指，針對線性時不變系統和一組任意給定的期望極點（特征值）1， 2，…， n，其中 i（i=1，2，…n）可以是實數或共軛復數，尋找非奇特征向量矩陣X∈Rn譶和狀態反饋增益矩陣K∈Rm譶，使式（A+BK）X=X 成立。魯棒極點配置問題，可以轉化為下面的優化問題：

魯棒極點配置的具體操作步驟如下：步驟1：輸入--輸入系統矩陣A、B和期望極點 1， 2，…， n。步驟2：矩陣分解--對控制矩陣B做QR分解，確定U0、U1和Z。步驟3：計算極點 i（i=1，2，…n）對應的標準正交基。步驟4：初始化種群和問題變量參數。步驟5：優化求解--根據IGPSO算法優化求解minJ。步驟6 ：輸出--輸出優化目標函數J、特征向量矩陣X和狀態反饋增益矩陣K。

4實驗

將本文方法與文獻[1]中method1方法、文獻[2]的線性矩陣不等式（LMI）方法作對比仿真實驗。優化對象為文獻[1，2]中采用的化學反應模型。系統的極點為（1.911，6.351？0-2，-5.057，-8.666），顯然系統是不穩定的。現將系統的期望極點配置為（-0.2，-0.5，-5.0566，-0.232）與文獻[1，2]相同。采用本文提出的IGPSO算法，算法迭代5000次，算法獨立運行30次。得到的最有結果為條件數等于3.1565。 本文提出的IGPSO方法與其它文獻經典優化方法得到的條件數結果對比，文獻[1]的條件數為3.32，文獻[2]的條件數為3.2665?？梢钥闯觯捎帽疚姆椒ǖ玫降臈l件數最小，明顯優于文獻中的結果。

5結束語

本文將IGPSO算法應用于線性系統魯棒極點配置問題中，解決了以往條件數優化計算中需要凸轉化處理的不足。仿真實驗表明本章方法所得到的條件數優于Method1， LMI方法，同時反饋后的閉環系統具有更好的魯棒性。

參考文獻

[1] Kautsky，J.&N.K.Nichols&P.Van Dooren.Robust pole assignment in linear state feedback[J].International Journal of Control， 1985， 41（05）： 1129-1155.

[2] Rami，M.A.&S.El Faiz&A.Benzaouia，et al. Robust exact pole placement via an LMI-based algorithm[J].IEEE Transactions on Automatic Control， 2009， 54（02）：394-398.