數(shù)形相依，綻放思維之花

浙江省瑞安市莘塍第二小學 林吟艷

借助直觀形象模型理解抽象的數(shù)學概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學生學習數(shù)學的重要方法。教學活動雖然有圖形、有算式，但活動中不關(guān)注這些圖形的形狀與度量特征，而是關(guān)注圖形的個數(shù)，并沒有滲透數(shù)學意義上的“數(shù)形結(jié)合”思想。這一現(xiàn)象引起了筆者思考，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中哪些知識點可以滲透“數(shù)形結(jié)合”思想？

一、借助數(shù)軸，理解抽象的概念

數(shù)學知識本身是抽象的，建立直觀是非常必要的，而數(shù)形結(jié)合是建立數(shù)學直觀的有力工具。小學生的邏輯思維能力比較弱，他們對抽象概念的理解基本上要借助感性的直觀材料，借助數(shù)形結(jié)合圖形直觀的特點，為抽象概念的學習提供了較好的方法。數(shù)軸實現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)系，將數(shù)與直線上的點建立了對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系，從而使抽象的“數(shù)”有“形”可依。

【片段】求一個數(shù)的近似數(shù)。

師：0.984 保留一位小數(shù)的近似數(shù)，為什么是1.0，而不是1 呢？末尾的0 到底該不該去掉呢？

操作要求：請同學們借助這條數(shù)軸“找一找、圈一圈、畫一畫、議一議”，分別找到近似數(shù)是1 和1.0 的數(shù)。

師：從剛才同學們畫的范圍可以看到，近似數(shù)是1 的范圍是0.5～1.5（不包含1.5），近似數(shù)是1.0的范圍是0.95～1.05（不包含1.05），也就是說，近似數(shù)為1.0 的精確度要更高點。保留的小數(shù)位數(shù)越多，近似數(shù)的精確度越高，正因為這樣，在表示小數(shù)的近似數(shù)時，末尾的0 是不能省略的。盡管大小相同，但精確度會受影響。

借助數(shù)軸對比，學生直觀感受到保留的位數(shù)越多，近似數(shù)的精確度越高。可以追問學生近似數(shù)1.00 的范圍、近似數(shù)1.000 的范圍，拓展思維，體驗極限的思想。數(shù)形結(jié)合使“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，豐富了學生對數(shù)的形象感知，發(fā)展了學生的數(shù)感。

二、借助線段圖，理解抽象的數(shù)量關(guān)系

解決問題作為一種貫穿整體的教學方式，每時每刻都在進行。具體問題的題意理解、數(shù)量關(guān)系分析、問題解決策略的形成都離不開直觀手段的運用。歸一、歸總問題是建立兩步問題數(shù)量關(guān)系和形成學習方法的關(guān)鍵，是培養(yǎng)畫圖意識和畫圖能力的關(guān)鍵。以下是學生歸總問題畫的線段圖：

通過線段圖比較，明確畫圖時反映信息問題要準確全面，通過尋找共性特點，幫助學生發(fā)現(xiàn)中間問題或關(guān)鍵因素，即學生要解讀出總量不變這一關(guān)鍵問題，并在線段圖上反映為長度相等，又要用不等長的線段區(qū)分6 元與9 元價錢，在“等長”和“不等長”的圖示表達中經(jīng)常會顧此失彼。此時，引導(dǎo)學生圍繞“整條線段表示什么”“同樣長是反映哪條信息，同樣長想表達什么信息”等問題展開討論，梳理各信息之間的內(nèi)在聯(lián)系和畫圖步驟，幫助學生全面、有序地表達題意。線段圖對解題思路分析、整理數(shù)量關(guān)系、數(shù)學模型建構(gòu)都有明顯的直觀效果。

三、借助“面積模型”理解分數(shù)及運算算理

學生只有理解了算式的意義，才能正確地運用算式解決問題，對算式意義的理解實際上是對運算意義的理解。運算的含義對學生來說是抽象的，學生理解這些抽象的概念會有一定的困難，一定要處理好直觀與抽象的關(guān)系，加強直觀教學，突出從概念的本質(zhì)上理解運算的意義。

【片段】連除簡便計算。

師：像600÷2÷3=600÷（2×3），400÷5÷2=400÷（5×2），900÷3÷10=900÷（3×10）這樣的算式，為什么就相等了呢？你是怎么判斷的？

生：左右兩邊算式的計算結(jié)果是一樣的，所以相等。

師：是不是只要有這樣特點的算式都是相等的呢？100÷4÷7和100÷（4×7）這兩個算式相等嗎？

學生有的沉默，有的搖頭，有的點頭。

生：都除不盡怎么判斷？

（多媒體出現(xiàn)一個長方形圖）

師：如果把這個長方形看成100，100÷4÷7 怎么表示？100÷（4×7）又怎么表示？

學生操作。

生：把100 平均分成4 份，再平均分成7 份，就是把100 平均分成28 份。100÷（4×7）也表示把100 平均分成28 份。

外在的形式上，a÷b÷c 和a÷（b×c）存在明顯的不同，當我們把兩個算式的意義歸結(jié)到除法平均分的意義上，結(jié)合“面積模型”直觀演示，清晰理解“連除性質(zhì)”的本質(zhì)。在學習過程中，學生溝通了知識間的聯(lián)系，建構(gòu)起了完整的“知識鏈”。

四、借助“直角坐標系”，初步感知函數(shù)思想

學生在學習正、反比例關(guān)系時，把兩個量在直角坐標系中表示出來，借助于形象的圖像，直觀呈現(xiàn)兩個變量之間的相依關(guān)系，深入理解抽象的函數(shù)關(guān)系。正比例的概念比較抽象，如何讓學生正確建構(gòu)出正比例的模型，關(guān)鍵是帶領(lǐng)學生找到正比例最核心的本質(zhì)，即比值一定。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與形象的直角坐標圖聯(lián)系起來，在“數(shù)”與“形”互譯中理解正比例的本質(zhì)，初步感知函數(shù)思想。

數(shù)形結(jié)合思想反映了客觀事物深層次的內(nèi)在聯(lián)系和矛盾統(tǒng)一。我們要重視數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的運用，讓學生在學習中不斷積累經(jīng)驗，形成方法和策略，思維獲得有效的發(fā)展。