淺論面積計算方法

林朝瑜

摘 要：平面圖形的面積計算，一般是根據面積公式計算所得，如遇不規則圖形的面積，可以通過分割、轉化成規則圖形來解決。但如果需要提高精確度，可以借助平面圖形面積推導的起源——數方格來解決，數方格在數學“圖形與幾何”領域發揮著重要的作用，需要在教學中加以重視。

關鍵詞：面積;數方格;不規則圖形

面積是什么？根據《“科普中國”科學百科詞條》中的定義，物體所占的平面圖形的大小，叫作它們的面積。小學數學學習中，學生對平面圖形的面積計算已有了完整、系統的認知，用所學知識能夠解決面積的相關問題。

一、一次實踐活動的討論

在六年級學習圓柱、圓錐的體積后，拓展介紹了柱狀體的體積計算方法。這時，一位學生問操場上魚池的容積該怎么算。因為魚池是個不規則的容器，學生每天上下學都愛路過時看看里面的蓮花、小魚，雖然很熟悉，但從沒思考過它的容積是多少。這個問題提得很好，課堂上學生興奮地討論起來，學生都覺得只要用“底面積×高”即可，于是各個小組就著手完成這一實踐作業。

學生主要的計算方法有兩種，一種是把整個花壇看成一個近似的長方體，而魚池雖是一個不規則圖形，但它的占地面積約是整個花壇的一半左右，測出整個花壇的長、寬、高分別是8.85米、5.05米、0.6米，那么魚池的容積約是13.4立方米。

第二種方法是把魚池所在平面分成近似的梯形和平行四邊形，測出梯形的上底、下底和高分別是3.1米、5.05米和3.45米，而平行四邊形的底、高分別是4.4米、3.1米，這樣算出魚池的占地面積后，再乘上高0.6米，體積約是16.62立方米。

當在課堂上討論兩種方法時，大家覺得都有道理，但為什么誤差這么大呢？學生討論的結果一致認為，魚池是個不規則圖形，計算它的占地面積時不精確，所以才形成了兩種較大的誤差。那么生活中很多不規則的物體，怎么才能精確地算出它們的面積？這又成了學生繼續探索的問題。

當學生明確了問題的關鍵在于求魚池這個不規則圖形的占地面積時，立即想到了五年級所學的內容，可以用數方格的方法求出不規則圖形的面積。于是學生將魚池平面圖畫上方格，用數方格的方法，算出魚池的圖上面積，再測算比例尺，根據比例算出實際面積為27.2平方米，那么魚池的容積就是16.33立方米。這時再在全班進行討論，雖然與第二種算法差距不大，大家都比較認同這種算法。與原先對兩種根據近似圖形計算面積的質疑相比，大家更覺得這樣算出來的面積精確度高，適合解決生活中的實際問題。討論時學生再次思考，這種數方格的方法精確度比前兩種高，適宜解決不規則圖形的面積，如果對精確度要求更高一些，可以怎么辦呢？前兩種方法解決不了的問題，數方格一樣能夠解決，如果需要，可以把不是整格的方格細分成100格，再去數一數整格、半格各有多少，這樣得到的精確度又更高了一些。通過這次完整的實踐活動，學生對面積可以怎樣算的認識有了明顯提高，針對不同情況選擇不同方法解決問題有了更實際的體會。

二、不同方法的思考

對于面積的學習，學生的認知是較為系統的。從開始掌握長方形的面積計算之后，各種平面圖形的面積學習在此基礎上有邏輯地順序展開，學生通過對已知平面圖形面積的轉化推導出新圖形的面積計算方法，最后六年級下冊的總復習中還對學生進行系統的整理，進一步明確了平面圖形面積推導的關系。所以學生面對平面圖形的面積問題時，首先的想法是“算”，通過直接計算或轉化進行計算，即使正如本次實踐活動中需求魚池占地面積的實際問題，學生還是想通過計算直接解決。而只有在遇到實際的困難或是老師給予明確的提示后，學生才會想到用數方格的方法來解決問題。可見，數方格對于學生的面積學習還是有著很大的價值，我們在平時教學中應更多地關注、引導。

1.貼近生活，易于理解

以蘇教版小學數學教材為例，在“圖形與幾何”內容的教學中，方格圖或格點圖共出現了69次。最早出現于一年級上冊第6頁“比一比”中比較線段的長短，在學生沒有認識長度、面積單位之前，借助數方格，也可以進行圖形相關學習。數學的學習講求結構與邏輯，很多老師和學生認為，長方形的面積計算公式是平面圖形面積計算的“源頭”，實際它只是后續學習其他平面圖形面積推導轉化的基礎。如果必須“追根溯源”，我們回想一下，長方形的面積計算公式是怎樣推導出來的呢？它也是通過數方格的方法得到的，可見，數方格才是平面圖形面積學習的真正“源頭”。面積的計算需要面積單位，而小方格是最基礎的面積單位，后續許多平面圖形面積都是借助方格圖這個情境呈現的，所以這個“源頭”貼近學生的生活，它可見、可數、可比較，易于理解。

實際學習中，學生很少會主動用數方格的方法解決問題，一方面和很少遇到直接計算解決不了的問題有關，另一方面，也和實際教學中老師往往關注知識點，著力比較面積間的聯系有關。而仔細回顧一下，平面圖形的面積教學，教材都是以方格圖的情境來呈現的，在有關周長、面積的練習中，教材也多以方格圖為背景進行出示。如果老師在教學中能對數方格的教學加以重視，學生就會積累許多學習經驗，有了這樣的學習經驗，即使學習中遇到了困難，學生也會主動回歸方法的本源，從而解決問題。

2.精確度高，操作性強

數方格雖然在實際計算面積時應用較少，但通過上面的實踐活動，學生還是能夠發現，在解決生活中的實際問題，尤其是解決不規則圖形的面積時，它還是有著很大用處的。用數方格解決此類問題，精確度較高，而且如果需要，它還可以把每一個小方格繼續細分，這樣得出的精確度更高，所以它是平面圖形面積計算的基礎，也是很重要的補充，在教學中應該更多地進行關注。

在蘇教版小學數學教學中，學生正式學習面積之前，共有12次接觸方格圖的機會，從開始的數長度發展到數面積，學生的抽象思維能力也是一個逐步提升的過程。一開始數方格是數格邊，有幾個格邊，就有幾個長度單位，進而過渡到之后的數方格，有幾個小格就有幾個面積單位，學生在方格圖中畫圖形、比長度、算面積，都是從最可見的直接計量入手，等學習了計量單位、計量方法后，就可逐步過渡到間接測量。如果老師們每次在教學中都能組織好，那么學生在這樣的學習操作中可以積累豐富的活動經驗，借助數方格活動，會讓抽象的數學知識更直觀，會推動學生的認知水平由直觀操作發展到抽象概括，具象認知發展到抽象認知，思維能力得到逐步提升的同時，對培養學生的學習情感也會有很大幫助。

3.體會數學思想，感悟數學魅力

在實際生活中，如需求不規則圖形的面積時，可以借助專業的信息技術軟件進行計算。但在學習生活中，數方格還是求平面圖形面積的基礎，也是最簡易可行的操作方法。根據實際需要，可以對方格細分程度進行調控，進而控制面積的精度，這本身就是數學中極限思想的一種體現。

數學來源于數學內部發展的需要，同時也來源于人們實踐活動的需要。正是因為人們的實踐活動中有著對面積度量的需要，所以才慢慢摸索出比較簡易可操作的方法，最初的度量就是看被測對象有幾個度量單位，基于此的理解，逐漸發展到面積計算公式的運用，而公式也只是對度量過程的一種優化與抽象的數學表達。而這一過程不正是學生學習面積計算的過程嗎？如果對教材的編排意圖有深入的理解，重視數方格在面積教學中的意義，那么不僅能讓學生真正掌握面積計算的方法，還能體會數方格的思考價值，從簡單、直觀到豐富、抽象，形成了具有發展力的理解認知，初步體會度量思想的精髓，感悟數學的魅力所在。

因此，數方格求面積的方法對于小學數學中的面積學習有著很重要的意義，雖然有些麻煩，但如能讓學生真正經歷這樣“慢”的學習過程，后續的學習就會有更“快”更廣闊的生長與發展。

參考文獻：

[1]張維國.數方格是笨方法嗎[J].小學教學（數學版），2012（9）.

[2]蔡福山.簡單的數方格其實并不簡單[J].小學數學教育，2012（11）.

編輯 李建軍