由因得果 解得在手

摘 要：對于考試中的壓軸題，學生總是很畏懼。初中的教學非常注重學生的邏輯思維能力和解決問題能力的培養。平時的考試試題也考查學生分析問題的能力。特別是壓軸題綜合性強，需要學生去根據題干條件分析問題、解決問題。筆者所在年級段，有每周一次壓題訓練，目的是提升學生的解題能力，培養學生的思維能力。現以2018年福建省中考題最后一道壓軸題為例，探索解法自然生成過程，希望能給學生們有所啟示。

關鍵詞：依存關系；分析能力；自然解法

一、 題目呈現

（2018·福建）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）。

（1）若點（-2，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x10；當0

①求拋物線解析式；

②若點P與點O關于點A對稱，且O、M、N三點共線，求證：PA平分∠MPN。

此題看似很復雜，其實只要讀懂題干條件，順著題干條件的意思順藤摸瓜，思路就可以打開了。

二、 解法探究

（一） 靠攏高中 無獨有偶

先對第（1）、（2）①這兩問進行分析：（1）由拋物線經過點A可求出c=2，再代入（-2，0）即可得出2a-2b+2=0（a≠0）；

（2）①根據x10，有x1-x2<0，y1-y2<0，當x<0時，y隨x的增大而增大；同理：當x>0時，y隨x的增大而減小，由二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸為y軸且開口向下，進而可得出b=0，由拋物線的對稱性可得出△ABC為等腰三角形，結合其有一個60°的內角可得出△ABC為等邊三角形，設線段BC與y軸交于點D，根據等邊三角形的性質可得出點C的坐標，再利用待定系數法可求出a值，即c=2，b=0，a=-1，拋物線的解析式為y=-x2+2；

（二） 過程繁瑣 體現能力

②由①的結論可得出點M的坐標為（x1，-x21+2），點N的坐標為（x2，-x22+2），由O、M、N三點共線可得出

x2=-2x1，進而可得出點N及點N′的坐標，由點A、M的坐標利用待定系數法可求出直線AM的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點N′在直線PM上，進而即可證出PA平分∠MPN。

②證明：由①可知，M的坐標為（x1，-x21+2），點N的坐標為（x2，-x22+2）。

直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）。

∵O、M、N三點共線，

∴x1≠0，x2≠0，且-x21+2x1=-x22+2x2，

∴x1x2=-2，即x2=-2x1，

∴點N的坐標為-2x1，-4x21+2。

設點N關于y軸的對稱點為點N′，則點N′的坐標為2x1，-4x21+2。

∵點P是點O關于點A的對稱點，

∴OP=2OA=4，即點P的坐標為（0，4）。

設直線PM的解析式為y=k2x+4，

∵點M的坐標為（x1，-x21+2），

∴-x21+2=k2x1+4，即有k2=-x21+2x1，

∴直線PM的解析式為y=-x21+2x1x+4。

∵-x21+2x1·2x1+4=-2（x21+2）+4x21x21=-4x21+2，

∴點N′在直線PM上，即PA平分∠MPN。

（三） 借用三角函數 解決幾何問題

②設直線MN：y=kx，則kx=-x2+2，

x1+x2=-k，x1x2=-2，x2=-k-x1

∵O、M、N三點共線，故不妨令M左，N右

作ME⊥y軸于E，NF⊥y軸于F，則P（0，4）

tan∠1=MEPE=-x14-y1=-x14-kx1=-x14-kx1·x2x2=x1x2kx1x2-4x2=1k+2x2

tan∠2=NFPF=-x24-y2=-x24-kx2=-x24-kx2·x1x1=x1x24x1-kx1x2=12x2+2

∴∠1=∠2，即PA平分∠MPN。

三、 解后反思

《立足學科本質 關注理性思維》提出數學學科的命題堅持“立足本質、著眼素養、合理綜合、關注應用、適度創新”的原則，注重“四基”，突出能力，關注理性思維，明晰教學導向。

命題立足初中數學各板塊知識所承載的教育價值，關注數學學科的育人功能，突出考查理性思維，“圖形與幾何”關注演繹推理，著重考查推理的邏輯性與條理性，關注論據的充分性，強調“言必有據”。

任何一種自然解法都是基于學生已有基礎知識和解題經驗，具有一定的思維含量。有的易想難算，有的易算難想。讀懂題目，順著題目的意思，根據自己所學知識摸出一條路線解決問題。改進我們的教學，引導學生分析挖掘好題中的奧妙，讓壓軸題回歸到雙基，這樣數學學習才不再成為困難。

參考文獻：

[1]葉先玖.順知順時自然解 回歸回味順勢得[J].中學數學教學參考，2017（4）.

作者簡介：周明珠，福建省泉州市，福建省泉州第一中學。