解題教學應注重提升學生思維品質

曾益俊

函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的主要因素，函數的定義域似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使學生誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須考慮定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的。

例1.某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式。

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=x（50-x）。故函數關系式為：S=x（50-x）。

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就是說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

這說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意函數定義域對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就說明學生思維缺乏嚴密性。

二、函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，仔細地檢查解題的思維過程，就可以避免以上錯誤。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出并改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便能體現出良好的思維批判性。

四、函數單調性與定義域

函數單調性是指在給定的定義域上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域上進行。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解。在做練習或作業時，只是對題型套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

五、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域是否關于坐標原點成中心對稱。如果定義域關于坐標原點不成中心對稱，則函數無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

（作者單位：邵東縣第三中學）