雙曲線實(shí)際應(yīng)用生活館

■河南省駐馬店市第一高級(jí)中學(xué) 張獻(xiàn)鋒

雙曲線來自于生活,又服務(wù)于生活。利用雙曲線方程可以解決生活中許多實(shí)際問題,本文舉兩例加以說明,供同學(xué)們賞析。

1.小李的手機(jī)在哪里

例1小李真是個(gè)小馬虎,一不小心把手機(jī)丟了,這可是花了整整5400元買的手機(jī)呀,小李心急如焚,立即報(bào)告給了相距1 0am的兩個(gè)派出所。而那位拾手機(jī)者同時(shí)使用了手機(jī)。A、B兩個(gè)派出所的監(jiān)聽儀器聽到手機(jī)發(fā)聲的時(shí)間差為6s,且B處的聲強(qiáng)是A處聲強(qiáng)的4倍(設(shè)聲速為am/s,聲強(qiáng)與距離的平方成反比),試確定持手機(jī)者的位置。

解析:如圖1,以A、B的中點(diǎn)O為原點(diǎn),直線A B為軸建立坐標(biāo)系,則A、B的坐標(biāo)分別為A(-5a,0)、B(5a,0)。由于A、B兩派出所監(jiān)聽器聽到手機(jī)發(fā)聲的時(shí)間差為6s,知手機(jī)位置點(diǎn)P在雙曲線上。由于B處聲強(qiáng)是A處聲強(qiáng)的4倍,由題意可知(x+5a)2+y2=因此,手機(jī)位置點(diǎn)P是兩個(gè)圖形的交點(diǎn)。

圖1

聯(lián)立方程組,得:

所以只要鎖定點(diǎn)P位置就能很快找到拾手機(jī)者。

評注:本問題利用坐標(biāo)法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,借助雙曲線和圓使實(shí)際問題得到解決。想一想:雙曲線和圓的方程是怎樣建立起來的?是利用題目中哪些已知條件建立起來的?

2.如何搜救航天員

例2“神舟九號(hào)”飛船返回倉順利到達(dá)地球后,為了及時(shí)將航天員安全接出,地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記為A,B,C),A在B的正東方向,相距6

k m,C在B的北偏西30°方向,相距4

k m,P為航天員著陸點(diǎn)。某一時(shí)刻,A接收到P的求救信號(hào),由于B,C兩地比A地距P遠(yuǎn),在此4s后,B,C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)。已知該信號(hào)的傳播速度為1

k m/s,求在A地發(fā)現(xiàn)P的方位角。

解析:由“A接收到P的求救信號(hào)的時(shí)間比其他兩個(gè)救援中心早4s”能否得到|P B|與|P A|的差為定值?是否說明點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上?因?yàn)閨P C|=|P B|,所以P在線段B C的垂直平分線上。又因?yàn)閨P B|-|P A|=4,所以P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上。

以線段A B的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A B的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向?yàn)閤軸正方向,建立直角坐標(biāo)系,如圖2所示。

圖2

因此,P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東30°方向。

評注:解答此類題首先應(yīng)建立平面直角坐標(biāo)系,取兩定點(diǎn)所在的直線為x軸,以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),然后根據(jù)雙曲線的定義求出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由標(biāo)準(zhǔn)方程解有關(guān)問題。本題的解法主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想。