全國名校拋物線拔高卷（B 卷）答案與提示

一、選擇題

1.A 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B.A 9.D 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C 5.A 16.D 17.C 18.A 19.C 20.C 1.C 22.A 23.C 24.C 25.B 26.B 7.A 28.C 29.B 30.D 31.C 32.C 3.B 34.D

二、填空題

三、解答題

55.(1)已知動點E到定點D(1,0)的距離等于點E到直線x=-1的距離,由拋物線的定義知E點的軌跡是以D(1,0)為焦點,以x=-1為準線的拋物線,故曲線C的方程為y2=4x。

(2)由題意可知直線l1,l2的斜率存在,傾斜角互補,則斜率互為相反數,且不等于零。

設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l1的方程為y=k(x-1)+2,k≠0;

直線l2的方程為y=-k(x-1)+2。

已知此方程一個根為1,故x1×1=

所以,直線A B的斜率為定值-1。

56.(1)設C(x0,y0),則由拋物線的定義得

所以p=2,拋物線的方程為x2=4y。

(2)因為|BM|=|BN|,所以點B在線段MN的中垂線上。

設B(x1,y1),則M(x1-2,0),N(x1+2,0)。

此時x1=±22。

57.(1)設拋物線D的方程為x2=2p y

所以拋物線D的方程是x2=4y。

(2)設切線y-y0=k(x-x0),即k x-y+y0-k x0=0。

設兩切線斜率分別為k1,k2,則k1+k2

所以切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32。

58.(1)由題意可設拋物線方程為x2=2p y,其準線方程為

所以拋物線的方程為x2=4y。

(2)由(1)可得點M(4,4)。

設直線MD的方程為:y=k(x-4)+4。

設D(x1,y1),E(x2,y2),則xM·x1=1 6k-tu。

所以直線D E的方程為y-4(k-1)2=

故直線D E過定點(-4,8)。

設C(x1,y1),G(x2,y2),直線C G的方程為

因為G為△A B C的重心,所以y1=y2。

60.(1)因為拋物線C1的焦點坐標是,所以過焦點且在x軸上截距為2的

設點Q(xQ,yQ),N(xN,yN)。

解得p=2。

所以拋物線C1的方程為x2=4y。

(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＞0,2＜0),設過A點的切線方程為y-y1=1(x-x1),聯立拋物線方程x2=2p y,利用新的方程的判別式等于零,可得同理設過B點的切線的斜率為k2,解得k2=

因此,x1,x2是方程x2-2a x-4p2=0的兩根,則x1+x2=2a,x1x2=-4p2。

61.(1)易知F(1,0),設A B:x=λ y+1。

且由(1)知y1y2=-4,y1+y2=4λ。

代入①得:

|MN|≥4,僅當λ=0時,|MN|取最小值4。

綜上所述,|MN|的最小值是4。

故軌跡C的方程為y2=2x。

又t1≠t2,故t1t2=-1。

將t1t2=-1代入上式,可得(x+2)2+y2-2(t1+t2)y-4=0。

令y=0,則x=0或x=-4。

故以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值4。

63.(1)因為圓N:(x+1)2+y2=2,所以圓心N為(-1,0),半徑r=2。

設A(x1,y1),B(x2,y2),當直線l的斜率為-1時,設l的方程為y=-x+m,則:

(2)i)當直線l的斜率不存在時,因為直線l是圓N的切線,所以l的方程為-1。與y2=x聯立,可得(y1+y2)+1=5-32≠0,不符合題意 。

i i)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k x+m,即k x-y+m=0(k≠0)。

因為點M和點N關于直線y=x對稱,所以M的坐標為(0,-1)。

A(x1,y1),B(x2,y2)在直線y=k x+m上代入并化簡,得(1+k2)y1y2+(k2-m)·(y1+y2)+m2+k2=0。

綜上所述,存在滿足條件的直線,其方程為y=-x+1。