熟記結論和方法巧解解幾選擇題

■湖北省武漢市第十四中學 張 禺

解析幾何在高中數學中的地位十分重要,每年高考數學試卷中解析幾何的分值都在20分左右,這些題目往往運算量比較大,同學們得分率一直不高,究其原因還是同學們沒有掌握一定的方法,尤其是客觀題,有時候沒必要像解答題那樣一步一步地去計算。我們要追求小題小算,盡量不算。如果掌握了一些常用的結論和解題技巧,就能避開復雜運算,直搗問題本質!本文總結了一些平時常用的方法和結論,希望對同學們的學習有所幫助。

結論1

橢圓上的點到中心最近的距離是短半軸長,最遠的距離是長半軸長;

橢圓上到焦點的距離最大和最小的兩個點就是長軸的兩個端點;

圓錐曲線(橢圓,雙曲線或拋物線)上過焦點的所有弦中,通徑最短。

高考真題:“神舟八號”衛星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓,近地點為m

km,遠地點為nk m,地球的半徑為R

km,則“神舟八號”衛星運行軌道的短軸長等于( )。

解析:由題意知兩式相乘即可,選A。

聯考真題1:已知橢圓＞b＞0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點P,使得由點P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )。

解析:O P=2b,2b≤a,即而

聯考真題2:已知直線l過拋物線y2=4x的焦點F,交拋物線于A、B兩點,且點A、B到y軸的距離分別為m、n,則m+n+2的最小值為( )。

解析:拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1。由于直線l過拋物線y2=4x的焦點F,交拋物線于A、B兩點,且點A、B到y軸的距離分別為m、n,所以由拋物線的定義得m+n+2=|A B|,其最小值即為通徑長2p=4。故選C。

結論2

推廣到一般結論:

高考真題:已知A、B、P是雙曲線上不同的三點,且A、B連線經過坐標原點,若直線P A,P B的斜率之積kPA·kPB,則該雙曲線的離心率為( )。

解析:由結論容易知道,解得,所以答案為D。

聯考真題:雙曲線b＞0)實軸的兩個頂點為A、B,點P為雙曲線M上除A、B外的一個動點,若Q A⊥P A且Q B⊥P B,則動點Q的運動軌跡為( )。

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

兩式相乘即得軌跡為雙曲線,選C。

結論3

橢圓中的“垂徑定理”:已知O為坐標原點,直線l與橢圓(a＞b＞0)交于A、B兩點,中點為P,則若橢圓方程為此定理不難由“點差法”推導出來,同學們可自行嘗試證明。

高考真題:已知橢圓b＞0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓E于A、B兩點。若A B的中點坐標為(1,-1),則橢圓E的方程為( )。

解析:由題意知中點到原點的斜率為-1,所以,只有D選項符合,經檢驗D正確。

聯考真題:若橢圓的弦被點(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是( )。

A.x-2y=0 B.x+2y-4=0

C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0

解析:根據橢圓的垂徑定理,容易求得kl直線還要經過點(4,2),只有D項符

合,故選D。

結論4

聯考真題:已知O為坐標原點,雙曲線上有一點P,過P作兩條漸近線的平行線,且與兩漸近線的交點分別為A、B,平行四邊形O B P A的面積為1,則雙曲線的離心率為( )。

解析:平行四邊形的面積與點P的位置無關,其面積是定值。故本題應用此結論,即得容易得到e=