已實現波動GAS-HEAVY模型及其實證研究

沈根祥，鄒欣悅

(1.上海財經大學經濟學院，上海 200433；2.上海財經大學數理經濟學教育部重點實驗室，上海 200433)

1 引言

波動(volatility)在投資組合選擇、風險價值計算等投資決策和管理中具有重要的作用，波動的建模和預測一直是金融計量經濟學研究的重點和熱點。金融理論和實踐中常采用資產價格的方差或者條件方差作為波動計量。自回歸條件異方差(ARCH)模型和隨機波動(SV)模型是最為常見的波動模型，用于日交易頻率或者更低交易頻率風險資產價格的建模和預測。隨著資產價格日內高頻交易數據的獲取，已實現波動RV(realized volatility)作為日波動的無偏和一致估計得到廣泛應用[1-2]。為利用日內高頻數據信息提高波動預測的準確性，Hansen等[3]將RV引入GARCH模型提出已實現GARCH模型(Realized GARCH)，Hansen和Huang Zhuo[4]將RV引入EGARCH模型得出已實現EGARCH模型，Shepherd和Sheppard[5]提出基于高頻數據的波動預測模型，簡稱HEAVY(High-frEquency-bAsed VolatilitY)模型。

波動模型設定包括收益模型(也稱為一階矩模型)設定和波動模型(也稱為二階矩模型)設定。盡管在二階矩模型中加入RV比傳統GARCH模型具有更好的波動預測效果，已實現GARCH模型(包括已實現EGARCH模型)和HEAVY模型存在兩個不足：一是將一階矩模型中收益分布設定為正態分布，將二階矩模型中已實現波動設定為對數正態分布，不能充分刻畫收益分布和已實現波動的厚尾性；二是在波動模型中引入RV的方式較為隨意(ad hoc)，缺乏準則和理論基礎。Opschoor等[6]在研究多資產波動模型時，采用向量t分布作為收益的聯合分布，矩陣F分布作為已實現方差-協方差矩陣的聯合分布，充分捕獲資產收益和波動中的厚尾特征，以觀測驅動模型設定方法給出波動模型的具體形式，提出一種新HEAVY波動模型。

由于不可觀測性，作為波動代理變量的方差可以看作時變參數。Cox將時變參數模型的設定分為觀測驅動(observation-driven)和參數驅動(parameter-driven)。觀測驅動模型將t期的參數值表示為自回歸項和t-1期變量可測函數的和，參數驅動模型則用一階自回歸模型描述參數的動態變化。Creal等[7]在研究觀測驅動模型設定時，提出采用觀測變量密度函數關于時變參數得分函數形成的鞅差序列構造時變參數模型，稱為廣義自回歸得分(Generalized Autoregressive Score)模型，簡稱GAS模型，也稱為得分驅動(score-driven)模型。Blasques等[8]以Kullback-Leibler距離(簡稱K-L距離)為準則，從信息理論的角度證明，觀測驅動模型中只有GAS模型得出的條件密度函數才能減少和實際條件密度函數之間的K-L距離，即使模型設定錯誤的情況下仍然如此。Koopman等[9]對文獻中常用的兩類時變參數模型的預測效果進行比較，發現GAS模型與參數驅動模型的均方誤差僅相差不到1%，而由于包含隱變量需要采用數值積分計算似然函數，參數驅動模型估計中的計算困難和計算量遠遠大于觀測驅動模型。

本文對已實現GARCH模型和HEAVY模型進行改進，提出廣義自回歸得分HEAVY波動模型，簡記為GAS-HEAVY模型。收益和已實現波動分布的設定借鑒Opschoor等[6]，用波動對收益進行尺度調整得出調整t分布(rescaled t-distribution)作為資產收益分布，更為靈活地捕獲收益分布厚尾性和波動時變性，用波動對RV進行尺度調整得出調整F分布作為已實現波動的分布。F分布具有兩個自由度，與單自由度分布(如χ2分布)相比，對RV分布的厚尾性和非對稱性刻畫更為充分，同時F分布的支撐(support)是(0,)，滿足RV只取正值的限制條件。波動模型的設定采用GAS模型。在給出平穩性條件以及非負性條件后，本文分析了GAS-HEAVY波動模型的性質，并與已實現波動GARCH模型、HEAVY模型和t-GARCH模型進行比較以說明其優越性。蒙特卡羅模擬試驗表明，無論數據生成過程是非隨機時變波動模型還是隨機波動模型，GAS-HEAVY模型的得分驅動設定使其對波動變化的反映更為靈敏，對樣本數據的擬合效果顯著優于其它模型。

近幾年來，國內對采用高頻數據建立波動預測模型進行了大量研究。楊科和陳浪南[10]構建自適應非對稱HAR-D-FIGARCH模型對上證綜指已實現波動進行預測，取得了很好的效果。楊科等[11]將跳躍因素引入模型，構造AHAR-RV-CJ波動預測模型，研究結果表明跳躍對模型預測效果有顯著影響。翟慧等[12]以滬深300指數高頻數據為樣本，比較了HAR模型和GARCH模型的波動預測能力，認為對數形式的HAR-RV-CJ模型對短期、中期、長期波動率的樣本外預測都具有最高的精度。吳恒煜等[13]在HAR-RV模型中引入跳躍和結構轉換，認為短期內連續波動和跳躍波動對未來波動影響具有顯著差異，負向跳躍波動對未來波動的影響更大。吳鑫育等[14]研究了門限已實現隨機波動模型，認為加入門限的已實現隨機波動模型具有更好的擬合效果。

本文研究的創新之處體現在波動模型的設定上，以具有兩個自由度的F分布作為已實現波動的分布，對RV分布特征的捕捉更具靈活性，以得分驅動方法設定波動模型更新項的具體形式，使其對真實波動的擬合更為有效。選取上海證券交易所證綜合指數(上證綜指)、深證證券交易所成分指數(深證成指)和滬深300指數日收益數據和日內1分鐘收益高頻數據的實證研究表明，以Hansen的模型預測能力SPA(Superior Predictive Ability)指標為評價標準[15]，GAS-HEAVY模型在不同損失函數下的預測能力均明顯優于其它模型。本文研究結果為風險資產波動的擬合和預測提供了更為有效的新模型。

2 模型設定

2.1 rt的時變方差厚尾分布

(1)

設d0>2以保證εt存在方差。據此得出給定σt下rt的條件密度為

(2)

2.2 RVt的時變期望厚尾分布

(3)

據此得出RVt的密度函數為

(4)

2.3 波動動態模型設定

觀測驅動模型中鞅差序列st的設定十分關鍵。Creal等[7]將st取作t處觀測變量似然函數關于時變參數的得分函數，得出廣義自回歸得分模型(GAS：Generalized Autoregressive Score)：

得分函數為

經計算得出

(5)

St=Sr,t+SRV,t

SRV,t=

(6)

收益模型(1)、已實現波動模型(3)和波動模型(6)構成波動模型

(7)

本文稱之為基于高頻數據的得分驅動厚尾分布模型，簡記為GAS-HEAVY波動模型。

3 GAS-HEAVY波動模型的性質

3.1 平穩性和遍歷性

由此得出vart-1[St]<，再由var(St)=E(vart-1(St))得出St方差有限。將St表達式代入合并同類項可以看出，當且0<φ2<φ1時

3.2 與同類波動模型的比較

3.2.1 與t-GARCH模型的比較

GARCH模型中收益rt的分布取作t分布時得到的模型就是t-GARCH模型。由于更能有效捕獲分布厚尾性，t-GARCH模型被廣泛采用。t-GARCH模型中的波動方程仍然采用標準的GARCH形式，即

(8)

為了比較，不考慮GAS-HEAVY模型中的RVt提供的信息。(7)中St只有收益更新項Sr,t，對應的波動方程為

(9)

3.2.2 與HEAVY模型的比較

Shephard和Sheppard[5]將已實現波動引入日收益波動模型，提出基于高頻數據波動(HEAVY)模型，具體形式為

RVt=(γ/λ)μtξt,ξt～Γ(γ,λ),γ>0

μt+1=ω0+ω1RVt+ω2μt,ω0,ω1,ω2>0,ω1+ω2∈[0,1)

3.2.3 與已實現GARCH模型的比較

Hansen等[3]將已實現波動引入GARCH模型，提出已實現GARCH模型(Realized GARCH)，具體形式為

rt=exp(ht/2)εt,εt～N(0,1)

ht=φ0+φ1ht-1+φ2logRVt-1

4 蒙特卡羅模擬實驗

通過模擬實驗對GAS-HEAVY模型參數極大似然估計性質和模型的波動預測能力進行分析評價。

模擬的第一部分以GAS-HEAVY模型為數據生成過程(DGP：data generating process)生成模擬樣本，對模型參數進行極大似然估計，分析模型參數估計效果。給定模型參數值通過(7)式產生模擬樣本，然后采用模擬樣本對模型參數進行極大似然估計。根據文獻和實證研究的有關結果，選取三組參數值進行模擬，第一組參數取值為φ1=0.9、φ2=0.8、d0=7、d1=7、d2=5，第二組參數取值為φ1=0.8、φ2=0.6、d0=6、d1=5、d2=6，第三組參數取值為φ1=0.96、φ2=0.8、d0=12、d1=50、d2=15。模擬的樣本量T=1000，按日交易數據計算大體相等于4年的長度。

表1中的數據表明，極大似然方法可以較為精確地估計出GAS-HEAVY模型的參數值，波動模型參數φ1、φ2和分布自由度參數d0、d1和d2的估計值都十分接近實際值，且具有很高的顯著性。

表1 采用模擬樣本的極大似然估計

表2給出了四種不同模型對DGP過程擬合的RMSE及其標準誤。

表2 波動模型對模擬樣本擬合的均方誤差

從表2看出，GAS-HEAVY模型數據擬合的RMSE均值和標準誤都遠遠小于其它模型，擬合效果和穩定性具有明顯優勢。沒有采用RV數據的tGARCH模型擬合效果最差，表明RV對波動模型估計具有信息含量。

圖1 模擬數據和不同模型擬合數據時序圖

圖1給出模擬數據和四種模型擬合數據的時序圖。tGARCH與其它模型不具可比性，不再畫出。圖1表明，已實現GARCH模型和HEAVY模型不能捕捉收益數據的動態變化，原因之一是兩類模型中波動模型設定的隨意性，對DGP的動態近似效果差。另外一個原因是兩類模型中rt和RVt都設定為正態分布或者對數正態分布，不能很好擬合服從t分布和F分布的DGP數據。GAS-NlogN模型中的波動模型采用了GAS模型，對DGP具有較好的動態擬合效果，但由于收益和RV都沒有采用厚尾分布，不能很好捕捉數據的厚尾特性，導致其與實際數據具有較大偏差。GAS-HEAVY模型對收益數據動態變化具有較強的捕捉能力，其波動模式與DGP最為接近，收益的t分布和RV的F分布設定充分反映了數據厚尾特征，得分驅動得出的波動模型對DGP模型逼近效果好，同時三個自由度參數也提高了波動模型的靈活性和數據擬合能力。

5 實證分析

為驗證GAS-HEAVY模型對實際數據的擬合和預測能力，采用上證綜指(000001)，深證成指(399001)，滬深300(000300)2013年1月至2017年4月共1037個交易日的1分鐘高頻交易數據和日收盤數據進行實證分析，樣本區間包含2015年的股市巨幅波動。采用Barndorff-Nielsen等[18]提出的Realized Kernel方法計算已實現波動率，以消除和減輕市場微觀結構噪音和價格跳躍的影響。計算結果表明，樣本區間內三大指數的RV峰度都遠大于3，體現出明顯的尖峰厚尾分布特征。選擇χ2分布和F分布作為候選分布對RV進行Kolmogorov-Smirnov(K-S)分布檢驗。原假設為χ2分布的假設下，三大指數已實現波動K-S檢驗的p值均為0.00，顯著拒絕原假設，原假設為F分布的假設下，三大指數已實現波動K-S檢驗的p值均為0.06、0.92和0.44，都不能拒絕原假設，表明在RV分布的選擇上，F分布比χ2分布更符合實際情況。實證檢驗結果支持GAS-HEAVY模型對RV分布的設定。

5.1 參數估計

采用三大指數時間序列數據對GAS-HEAVY、HEAVY、R-GARCH和GAS-NlogN(簡記為M1、M2、M3和M4)模型實施極大似然估計，并對其擬合和預測效果進行評價。tGARCH模型不作為比較的候選模型。GAS-NlogN(M4)模型采用正態分布和對數正態分布，不再有自由度參數。表3給出模型參數估計值及其標準誤(小括號內)。

表3 模型參數估計值及其標準誤

注：M4中對應d1的值是RV對數正態分布的方差參數估計值。

從波動模型系數看，GAS-HEAVY模型和HEAVY模型的自回歸系數(φ1)高于已實現GARCH模型，三個指數模型的估計結果均體現出這一特征，其原因在于前兩個模型對收益和波動都采用了厚尾分布，不時出現的異常觀測值被看作來自分布尾部而不是波動水平發生了變化，厚尾分布對波動分布尾部性的控制，凸顯了波動的持續性。GAS-HEAVY模型的自回歸系數高于NlogN模型，進一步說明厚尾分布的重要性。另一個特征是GAS-HEAVY波動中的更新項系數(φ2)也顯著大于HEAVY模型，體現出采用得分驅動設定的波動更新項對收益數據和已實現波動率觀測值的利用更加有效，包含了更多影響未來波動的信息。GAS-NlogN模型的更新系數也大于HEAVY模型，進一步說明得分驅動設定波動模型更新項的優勢。從三個指數模型的差別看，最為明顯的是滬深300指數(000300)GAS-HEAVY波動模型更新項系數(φ2=0.220)明顯小于上證綜指(0.994)和深證成指(0.996)，表明大盤樣本股形成的滬深300指數波動更新小于上證綜指和深證成指，波動變化更為平穩。

5.2 預測能力比較

預測能力是評價波動模型的常用標準。發現Kupiec的VaR回測檢驗(backtesting)方法的諸多缺陷后，Hansen[15]提出評價波動模型預測效果的SPA(Superior Predictive Ability)統計量，被廣泛采用[12,16]。設模型M0為基準模型，M1…MK為其他K個模型，各個模型樣本外預測值計算的損失函數值為Lt,k,t=0,1…，T，定義dt,k≡Lt,0-Lt,k,t=1…T為基準模型與其他模型損失函數之差。dt,k為負表明基準模型預測能力更強。SPA檢驗統計量定義為：

表4 SPA檢驗結果

從檢驗結果看，無論采用哪種損失函數，以GAS-HEAVY為基準模型HEAVY、R-GARCH和GAS-NlogN為對比模型的SPA檢驗的p值都遠遠大于5%，尤其是針對滬綜指的檢驗，p值更是高達0.95以上，充分表明GAS-HEAVY模型的波動預測能力強于其它兩個模型。以HEAVY模型為基準模型，GAS-HEAVY、R-GARCH和GAS-NlogN為對比模型的檢驗p值都接近0，拒絕原假設，表明HEAVY模型的預測能力并不比GAS-HEAVY或者R-GARCH模型更強。以R-GARCH模型、GAS-NlogN為基準模型的檢驗結果與HEAVY為基準模型的檢驗具有完全相同的結論。SPA檢驗表明，GAS-HEAVY模型比HEAVY模型、R-GARCH模型和GAS-NlogN模型具有更強的波動預測能力。

6 結語

本文提出一種綜合利用日數據和日內高頻數據預測風險資產價格波動的模型，分別采用t分布和F分布作為日收益和已實現波動的分布，以期更為充分和靈活地捕捉分布厚尾性；波動模型設定采用觀測驅動方法中的得分驅動方法，有效提高了模型對數據生成過程的逼近效率。蒙特卡洛模擬實驗顯示，本文提出的GAS-HEAVY即使在模型誤設的情況下，對數據的擬合效果明顯好于同類模型。基于滬綜指、深成指和滬深300指數2013.1至2017.4數據的實證分析表明，在兩種不同損失函數的SPA檢驗下GAS-HEAVY模型的波動預測能力顯著強于其它同類模型。實證分析中模型參數估計結果表明，以大盤股為樣本的滬深300指數波動穩定性和持續性比滬綜指和深成指更強，GAS-HEAVY模型設定的合理性，使其對指數波動動態變化的描述和刻畫更接近實際。本文提出的波動模型，以其更好的樣本內擬合能力和更強的樣本外預測能力，為有關理論研究和市場應用提供了新的工具。