基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離的多屬性決策研究

劉東海,劉原園,陳曉紅

(1.湖南科技大學應用統計系，湖南 湘潭 411201;2.湖南商學院 湖南省移動電子商務協同創新中心，湖南 長沙 410205)

1 引言

1965年，Zadeh[1]在X={x1,x2,…,xn}上定義了模糊集A={(xi,μA(xi))xi∈X},其中μA(xi)∈[0,1]表示xi∈X的隸屬度。Atanassov[2]認為模糊集只考慮了xi∈X的隸屬度并沒有考慮其非隸屬度，為了更好地對相關信息進行描述，提出了直覺模糊集A′={xi,(μA′(xi),νA′(xi),πA′(xi))xi∈X},且μA′(xi)+νA′(xi)+πA′(xi)=1,其中μA′(xi),νA′(xi),πA′(xi)∈[0,1]分別表示xi∈X的隸屬度，非隸屬度和猶豫度。人們常用直覺模糊集來描述和處理多屬性群決策問題中的不確定信息，如Liang等[3]針對混合型的不完全評價信息，提出了一種基于直覺模糊集和證據理論的決策方法，解決了供應商選擇的多屬性決策問題，Yue[4]將直覺模糊集理論應用到雙邊匹配決策領域中，給出了一種直覺模糊集信息下雙邊匹配的決策途徑。直覺模糊集中隸屬度和非隸屬度是用確定的數值表示，在一些決策問題中，由于決策環境的復雜性、不確定性以及決策者對評價對象的主觀認識，此時人們無法用精確的數值來對他們進行評價。例如，評價某一公司投資方案的優劣時，決策者可能會說“這個投資方案整體上是好的，但可行性有一點弱”等語言術語，語言術語表達的觀點與人們的認知非常接近，但其運算有點復雜。Zadeh[5-7]定義了語言集S，用語言術語表達決策信息，如七值語言集S可表示為S={s0:非常低,s1:很低,s2:低,s3:中等,s4:高,s5:很高,s6:非常高}。一些學者利用語言集表達信息的可行性和靈活性來考慮多屬性群決策問題，如Herrera等[8]考慮了語言評估的一致性，進一步Herrera等[9]利用語言有序加權算子研究了個體語言偏好關系的群決策問題，Xu Zeshui[10]提出了利用語言混合聚合算子解決具有不確定乘性語言偏好關系的群決策問題。但在一些實際問題的評價中，如專家組對某地區的洪澇災害風險進行評估時，決策者認為該地區的風險“有可能是中等，有可能是高”，此時無法用單一的語言術語來表達他們的評價信息[11]。為此，Liao Huchang等[13]提出了猶豫模糊語言集HS={(xi,MS(xi)xi∈X)}，其中MS(xi)是由多個語言術語構成的集合，如MS(xi)={s3,s4}表示xi∈X隸屬度有可能是中等，有可能是高。猶豫模糊語言集雖能靈活地反映決策者的猶豫程度，但它沒有表示xi∈X語言評價術語的非隸屬度，并沒有全面反映決策者對評價對象的評價情況。為此，Beg和Rashid[14]提出了猶豫直覺模糊語言集ES={(xi,MS(xi),NS(xi))xi∈X}，其中MS(xi),NS(xi)是語言集的子集，分別表示xi∈X語言評價術語的隸屬度和非隸屬度。

另一方面，基于距離測度的決策方法是多屬性決策問題中一種重要的決策方法，它是描述評價集合之間不同性的一種度量。一些學者對語言集、猶豫模糊語言集、猶豫直覺模糊語言集的距離進行了研究，并將它們廣泛應用到數據挖掘、模式識別等領域。Xu Zeshui[15]定義了語言術語的偏離度，并將其應用于語言偏好關系的群決策問題，但此距離僅適合兩個語言集語言術語個數相同的情況。Liao Huchang等[16]在Xu Zeshui[15]的基礎上考慮了當兩個猶豫模糊語言集語言術語個數不相同時，根據決策者的風險偏好將兩個猶豫模糊語言集的語言術語個數添加至相同，并定義了猶豫模糊語言集的混合Hamming距離和混合Euclidean距離，提出了基于相應距離測度的決策方案排序問題。進一步Beg和Rashid[14]提出了猶豫直覺模糊語言集的包絡距離，在這個距離測度中，只用了語言術語隸屬度與非隸屬度的最大值和最小值，并沒有考慮其余的語言術語評價值，這就有可能出現評價信息失真的情況。在文獻[14-16]中定義的語言集距離均是用語言變量的下標值計算，這失去了語言術語集本身表達的優勢，且沒有體現在不同語義環境下語言術語評價值的差別。基于上述研究，本文將運用語言尺度函數，定義基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好的Hamming距離，提出基于猶豫直覺模糊語言集距離測度的TOPSIS和TODIM的多屬性群決策方法，并利用這兩種方法對評估對象進行排序。

本文的結構是：第二節給出了預備知識；第三節定義了基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差的距離測度，并證明了它的相關性質；第四節給出了基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差距離的TOPSIS和TODIM決策方法；第五節通過實例驗證了上述方法的可行性和有效性，并與已有方法進行了比較；第六節對全文進行了總結，并對將要進行的研究做了展望。

2 預備知識

2.1 語言集

定義1[5]設S={s0,s1,…,s2t}是由語言術語組成的集合, 且滿足: (1) 逆運算neg(si)=sj,i+j=2t;(2)有序性：si≤sj?i≤j,且當sj≥si時，最大算子max(si,sj)=sj;當si≤sj時，最小算子min(si,sj)=si，滿足上述條件的集合S稱為語言集，2t+1為語言集S中語言術語的個數。

(1)si⊕sj=si+j;(2)λsi=sλi;(3)當j>i時，sj>si。

2.2 猶豫直覺模糊集

2.3 猶豫模糊語言集

定義3[13]設X={x1,x2,…,xn},si∈S,則定義在X上的猶豫模糊語言集HS={(xi,MS(xi)xi∈X)},其中MS(xi)?S,MS(xi)中的每個元素表示xi∈X的語言術語評價值隸屬度。

2.4 猶豫直覺模糊語言集

定義4[14]定義在X={x1,x2,…,xn}上的猶豫直覺模糊語言集ES={(xi,MS(xi),NS(xi))|xi∈X},其中MS(xi),NS(xi)?S，分別表示xi∈X的語言術語評價的隸屬度和非隸屬度。當X中只有一個元素xi時，簡記ES={MS,NS},稱其為猶豫直覺模糊語言數。

當人們應用語言信息解決多屬性決策問題時, 是利用語言術語下標直接進行計算，在運算過程中可能會造成信息的丟失，為了克服這個問題，Xu Zeshui[19]利用語言術語與其下標之間的嚴格遞增關系，提出了基于語言標度中術語指標的多屬性群決策方法，由于在不同語義環境下語言術語對評價對象的表達有一定的差異性，為了刻畫這種抽象程度的差異性，可以利用語言尺度函數對不同語義環境下的語言術語賦予確定的數值。語言尺度函數的靈活性以及描述不同語義環境下評價對象的差異性等優點，使它在實際中有著廣泛的應用。

定義5[19]設S={s0,s1,…,s2t}為語言集,si∈S,如果存在嚴格單調的遞增映射f:si→θi,

(i=0,1,,…,2t)，則稱f為語言尺度函數。常用的語言尺度函數有以下三種[20]：

(1)f1(si)=θi=i/2t(i=0,1,…,2t)，θi∈[0,1]

(2)f2(si)=θi=

(3)f3(si)=θi=

當語言集S為七值語言集時，此時語言尺度函數f2(si)中a通常取值為1.37,語言尺度函數f3(si)中ξ,η通常取值為0.88[21]。

為對不同的直覺模糊數進行比較，Xu Zeshui[22]基于直覺模糊數的得分函數和精確函數提出了直覺模糊數的比較法則。這種比較方法得到了廣泛的推廣，在Xu Zeshui[22]的基礎上，Faizi等[23]提出了猶豫直覺模糊語言數的得分函數，精確函數以及猶豫直覺度函數。

定義6[23]設S={s0,s1,…,s2t}為語言集，ES={MS,NS}為某一猶豫直覺模糊語言數，其得分函數為S(ES)=s(MS)-s(NS),精確函數為A(ES)=s(MS)+s(NS),猶豫直覺度函數為

基于猶豫直覺模糊語言數的得分函數和精確函數，Faizi等[23]給出了兩個猶豫直覺模糊語言數ES1,ES2的比較法則：

(1)如果S(ES1)>S(ES2),則有ES1?ES2;

(2)如果S(ES1)=S(ES2)且A(ES1)>A(ES2),則有ES1?ES2;

(3)如果S(ES1)=S(ES2)且A(ES1)=A(ES2),則有ES1=ES2。

3 基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差的偏好距離

基于距離測度的決策方法是多屬性決策問題的一種重要決策方法，常用于分析兩個評價對象集合的差異。當兩個猶豫直覺模糊語言集的得分函數和精確函數都相等時，此時無法利用Faizi等[23]提出的法則對它們進行比較，但利用距離測度能很好地解決這個問題。有學者對猶豫直覺模糊語言集的距離測度進行了研究，如Beg和Rashid[14]提出了猶豫直覺模糊語言集的包絡距離測度：

定義7[14]定義X={x1,x2,…,xn}在上的猶豫直覺模糊語言集A的包絡可以表示為：env(A)={(xi;[min(MS(xi)),max(MS(xi))],[min(NS(xi)), max(NS(xi)]xi∈A)},為了方便，將env(A(xi))=[min(MS(xi)),max(MS(xi))],[min(NS(xi)),max(NS(xi)]記為猶豫直覺模糊語言集的包絡元素。

例 1 設EA(x),EB(x)和EC(x)為三個猶豫直覺模糊語言數,EA(x)=([s6,s6],[s1,s2]),EB(x)=([s5,s5],[s2,s2]),EC(x)=([s6,s6],[s4,s4]),由Faizi等[23]的比較法則，有EC(x)EB(x)EA(x),則EA(x)與EC(x)的偏差大于EB(x)與EC(x)的偏差。

而由Beg和Rashid[14]定義的距離測度，有d(EA(x),EC(x))=|6-6|+|6-6|+|1-4|+|2-4|=5；d(EB(x),EC(x))=6,即d(EA(x),EC(x))

這時EA(x)與EC(x)的偏差小于EB(x)與EC(x)的偏差。由Beg等[14]定義的距離來看,顯然不滿足:當EC(x)?EB(x)?EA(x)時,d(EA(x),EC(x))≥d(EB(x),EC(x)),d(EA(x),EC(x))≥d(EA(x),EB(x))。

我們可以看到，Beg和Rashid[14]定義的距離測度只考慮了隸屬度的最大值和最小值，并沒有考慮其它語言術語評價值的信息，同時它也忽略了猶豫模糊集多值評價的顯著特點；另一方面，該距離的計算是直接運用語言術語評價值的下標，這不僅失去了語言術語表達實際問題的靈活性，而且也沒有考慮不同語義環境下語言術語評價值的差別。

為克服上述距離的不足之處，基于語言尺度函數，我們來定義猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好的Hamming距離。

定義9設兩個猶豫直覺模糊語言數為ES1={MS1,NS1}和ES2={MS2,NS2},基于猶豫直覺模糊語言數均值-標準差偏好的Hamming距離定義為：

α,β為非負常數，且α+β=1;Emi,Eni?(i=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的均值；Smi,Sni(i=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的標準差;#MS1,#NS1, #MS2,#NS2分別為對應集合中元素的個數，f(·)為語言尺度函數。

定理1設ES1={MS1,NS1},ES2={MS2,NS2}和ES3={MS3,NS3}為猶豫直覺模糊語言數，基于兩個猶豫直覺模糊語言數均值-標準差偏好的Hamming距離滿足以下性質：

(1)0≤d(ES1,ES2)≤1;(2)d(ES1,ES2)=d(ES2,ES1);(3)d(ES1,ES2)≤d(ES1,ES3)+d(ES3,ES2)。

(2)證明： ∵Em1-Em2=Em2-Em1,En1-En2=En2-En1,Sm1-Sm2=Sm2-Sm1,Sn1-Sn2=Sn2-Sn1,

∴d(ES1,ES2)=d(ES2,ES1)。

(3)證明：∵Em1-Em2=Em1-Em3+Em3-Em2≤Em1-Em3+Em3-Em2;

同理En1-En2≤En1-En3+En3-En2,

Sm1-Sm2≤Sm1-Sm3+Sm3-Sm2,Sn1-Sn2≤Sn1-Sn3+Sn3-Sn2;

(3.1)

(3.2)

由(3.1)和(3.2)式可得：d(ES1,ES2)≤d(ES1,ES3)+d(ES3,ES2)

例 2 利用定義9中的距離繼續考慮例1。

我們定義基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好的Hamming距離如下：

α,β為非負常數，且α+β=1;Emji,Enji(j=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的均值；Smji,Snji(j=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的標準差;#MS1i,#NS1i, #MS2i,#NS2i分別為對應集合中元素的個數,f(·)為語言尺度函數。

與定理1的證明方法類似，容易證明d(EA1(x),EA2(x))滿足定理1中的三條性質。

4 基于猶豫直覺模糊語言集距離測度的多屬性決策

下面我們將給出基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好Hamming距離的TOPSIS和TODIM的多屬性決策方法。

4.1 基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差距離測度的TOPSIS方法

TOPSIS方法是多屬性決策過程中一種經典方法，它利用各方案與正理想解和負理想解的距離來對評價對象進行排序[16,24]。最好的評價方案離“正理想解”距離最近，同時離“負理想解”距離最遠，反之為最差。TOPSIS方法的優點是考慮了不同屬性的類型，通過綜合評價指數來刻畫評價方案的優劣，計算簡便，可以很快地得到方案的排序結果；該方法的不足之處是依賴于距離測度，使用不同的距離測度可能得到不同的排序結果。基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好Hamming距離測度的TOPSIS方法具體步驟如下：

步驟1.給出猶豫直覺模糊語言決策矩陣ESt(t=1,2,…,k);

步驟2.對k個猶豫直覺模糊語言決策矩陣進行聚合，得ES=(ESij)i=1,2,…,mj=1,2,…,n,

步驟3.確定正理想解ES+和負理想解ES-;對于效益型J1和成本型J2兩種屬性，正理想解和負理想解分別可以表示為：

ES+={maxESi1,maxESi2,…,maxESin},j∈J1,i=1,2,…,m;ES-={minESi1,minESi2,…,minESin},j∈J1,i=1,2,…,m;

ES+={minESi1,minESi2,…,minESin},j∈J2,i=1,2,…,m;ES-={maxESi1,maxESi2,…,maxESin},j∈J2,i=1,2,…,m;其中maxESij,minESij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由Faizi等[23]的比較法則確定。

步驟5.計算每個方案的綜合評價指數Hi=di-/(di++di-);

步驟6.對方案進行排序：綜合評價指數越大，相應的方案越優。

4.2 基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差距離測度的TODIM方法

TODIM方法是一種基于前景理論的多屬性決策方法，是通過建立排序值函數計算備選方案的優勢度來對方案進行排序，這種方法可以有效地根據決策者的心理行為處理多屬性決策問題中的不確定信息[25]。其優點是根據決策者的風險偏好來調整計算過程中的參數，做出符合決策者心理的決策結果[26]，不足之處是參數取值條件的復雜性。對于4.1節中所考慮的決策問題，基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離的TODIM方法步驟如下：

步驟1.給出猶豫直覺模糊語言決策矩陣ESt(t=1,2,…,k);

步驟2.對k個猶豫直覺模糊語言決策矩陣ESt進行聚合；

步驟3.對聚合決策矩陣ES標準化，多屬性決策問題中，屬性有效益型J1和成本型J2,通常可以將決策矩陣ES=(ESij)m×n標準化為

其中neg(MSij,NSij)為語言集的逆算子。

步驟4.計算屬性的相對權重，根據參照準則Cl(通常選取屬性權重最大的準則作為參照準則)，對于給定的每個屬性權重ωj，計算它們相對于參照屬性Cl的相對權重ωj*=ωj/ωl;

步驟5.計算優勢度矩陣，在屬性Cj下方案Ai優于Ap的優勢度φj(Ai,Ap)為

其中θ表示決策者對損失的敏感程度，θ越小表示決策者對損失的規避程度越高，具體的值可根據實際問題進行選擇；q(q≥1)為控制變量，根據決策者的偏好決定其值。

步驟8.對方案進行排序：綜合排序值ζ(Ai)越大，方案越優。

5 數值實例

為了說明本文提出方法的可行性和有效性，我們采用Faizi等[23]中的實例和數據。

假設某一單位招標建筑商修建辦公大樓，他們收到四家不同建筑商A1,A2,A3,A4的方案。為了選擇一家合適的建筑商，單位擬從建筑花費C1,建筑材料C2,建筑進程C3,技術風險C4和合約保證C5五個方面來對四家建筑商的方案進行決策。三個專家(D1,D2,D3)構成的評審組對四個方案用七值的語言集S={s0:非常差,s1:差,s2:較差,s3:一般,s4:好,s5:較好,s6:非常好}從五個方面來進行綜合評價，選擇一家最優的建筑商。五個屬性對應的權重為ω=(ω1,ω2,ω3,ω4,ω5)=(0.2,0.4,0.2,0.1,0.1)T。

5.1 基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離的TOPSIS方法

步驟1.專家的評價既表達了方案Ai在屬性Cj下的隸屬度，又表達了非隸屬度，此時用猶豫直覺模糊語言集表達相關信息更為合適，對應的決策矩陣見(表1～表3)：

表1 第一個專家的決策矩陣

表2 第二個專家的決策矩陣

表3 第三個專家的決策矩陣

步驟2.再利用4.1節中的決策步驟，得到四個方案的綜合評價指數H1=0.5012,H2=0.3208,H3=0.6677,H4=0.2661;故該單位應選擇第三家建筑商修建辦公大樓。

類似地，當語言尺度函數為f2si(i=1,2,…,6,t=3,a=1.37),α=0.1,β=0.9,對應方案的排序為A3?A1?A2?A4,此時最優方案為A3；當語言尺度函數為f3(si)(i=1,2,…,6,t=3,ξ=η=0.88,α=0.1,β=0.9),對應方案的排序仍為A3?A1?A2?A4,此時最優方案仍為A3。

5.2 基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離的TODIM方法

步驟1. 與TOPSIS方法類似；

步驟2.利用4.2節中的決策步驟，可得方案Ai的綜合排序值:ζ(A1)=0.9568,ζ(A2)=0.1787,ζ(A3)=1,ζ(A4)=0.因此該單位仍應選擇建筑商A3修建辦公大樓。

類似地，當語言尺度函數為f2si(i=1,2,…,6,t=3,a=1.37),θ=2,q=2時，對應方案的排序為A3?A1?A2?A4,最優方案仍為A3;當語言尺度函數為f3(si)(i=1,2,…,6,t=3,ξ=η=0.88,θ=2,q=2時,對應方案的排序為A3?A1?A2?A4，最優方案與f1(si),f2(si)是一致的。

5.3 偏好參數靈敏度分析

本文定義距離中的偏好參數α和β分別反映了決策者對語言術語評價值集中性和波動性的不同偏好態度。我們可以根據決策者的偏好態度選擇不同的偏好值α(或β)來分析偏好參數的變化對方案排序的影響情況。

在TOPSIS方法中，我們以f1(si)為例，分別令α=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,討論綜合評價指數Hi隨α的變化情況，見圖1。

圖1 TOPSIS方法中Hi隨α的變化情況

由圖1可以看出，隨著α取值的變化，雖然四個方案Hi的大小排序發生了略微變化，但最優方案一直為A3，從一定程度上說明了我們定義距離測度TOPSIS決策方法的穩定性。另一方面風險規避程度越高的決策者α值越大，從圖1可以知道，決策者風險規避程度增大時，綜合評價指數Hi也增大，但到一定程度Hi將趨于穩定，這也表明了各方案最終的排序結果與偏好參數α的取值無關。

在TODIM方法中，當語言尺度函數為f1(si),α=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9，同樣我們來討論綜合排序值ζ(Ai)隨α的變化情況，見圖2。

圖2 TODIM方法中ζ(Ai)隨α的變化情況

由圖2可以看出，隨著α取值的變化，四個方案Ai的綜合排序值ζ(Ai)的結果并沒有發生改變，最優方案一直為A3，說明了α取值變化并不影響方案的最終排序結果，也表明基于均值-標準差偏好距離的TODIM決策方法得到的結果是穩定的。

5.4 比較分析

為了說明基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離決策方法的優勢，我們與Faizi等[23]中同一實例采用outranking方法所得結果進行比較，見表7。

表7 排序結果的比較

從表中可以看出，Faizi等[20]中采用基于猶豫直覺模糊語言集支撐函數，風險函數和可信度函數的outranking方法所得方案的排序結果與本文基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離決策方法所得結果有所不同，主要原因是:outranking方法在評價決策過程中允許使用不完整的評價信息，并且允許偏好之間存在不可比性和非傳遞性[27-28]。另一方面本文提出的猶豫直覺模糊語言集距離的決策方法是基于均值-標準差進行排序的，明顯優于以得分函數和猶豫度函數的outranking決策方法。同時基于猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離的TOPSIS和TODIM決策方法考慮了決策者風險規避的態度，并且兩種方法所得的排序結果相同，表明了TOPSIS方法和TODIM方法的可行性和有效性。另一方面，本文定義的距離測度是基于語言尺度函數的，決策者能夠根據他們的偏好和實際情況來選擇語言尺度函數，這更符合實際情形。

6 結語

本文定義了猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好的距離測度，并提出了基于相應距離TOPSIS和TODIM的多屬性決策方法來對備選方案進行排序。雖然文中是以實例建筑商招標方案來說明決策方法的可行性，但以猶豫直覺模糊語言集均值-標準差偏好距離的決策方法也能夠用于供應商選擇、風險投資分析等領域的其它決策問題。同時，我們還會考慮猶豫直覺模糊語言集中每個語言術語評價值出現的頻數問題，即我們后面要研究的基于語言尺度函數的概率猶豫模糊語言集和它在實際決策問題的運用。