只有輸出的廣義樣本區間DEA模型

伊 茹，馬占新

(1.華北電力大學經濟與管理學院，北京 102206；2.內蒙古大學經濟管理學院，內蒙古 呼和浩特 010021)

1 引言

數據包絡分析[1-2](DEA)是使用數學規劃模型評價具有多輸入、多輸出決策單元間的相對有效性。自1978年由Charnes等人提出以來，眾多學者在模型的擴充和完善相關理論的發展以及DEA應用方面都進行了大量研究[3-7]。近期學者們在傳統DEA方法的基礎上，從非期望產出[8-10]、交叉效率中決策單元的排序[11-12]、輸入輸出變量約束[13-14]等角度展開了進一步的研究。針對傳統DEA方法只能給出決策單元相對于有效決策單元的評價信息，無法依據指定參考集提供評價信息的弱點，馬占新[15-16]從評價參考集的角度出發，對數據包絡分析理論進行拓展，提出廣義DEA方法，之后，對廣義DEA模型進行擴充與完善，分別提出帶有偏好錐的廣義DEA模型[17]、包含無窮多個樣本單元的廣義DEA模型[18]、綜合的廣義DEA模型[19]，并對決策單元偏序關系[20]進行了系統的研究。針對廣義DEA模型中樣本單元和決策單元的投入、產出數據非準確數的情況，孫娜等[21-22]分別提出了廣義超效率區間DEA模型和廣義模糊DEA模型，并對其有效性進行了研究。傳統DEA方法和廣義DEA方法作為非常有效的效率評價方法難于評價非效率問題。為此，馬占新和伊茹[23]給出基于樣本評價的非參數綜合評價方法，將傳統DEA方法的功能由“效率評價”推廣到了包含“非效率評價”在內的更一般的情況，并對非效率型DEA參照系進行了拓展性研究，但該方法只是針對指標值為精確數的情況。

在綜合評價過程中，根據不同目的人們選擇不同的參照標準對評價對象鑒定優劣、區分等級、排列次序。由于評價目的的不同和客觀事物的復雜性，參照對象和評價對象指標數據采用區間數，具體表現形式為：(1) 由于個體存在差異，有些指標數據可在一定范圍內波動，故人們選用參考值范圍作為標準，判定評價對象是否處于參考標準范圍內；(2)由于客觀事物的不確定性，評價對象指標觀測值選取為可能的取值范圍，此時人們選擇可接受的特定標準考察評價對象指標取值范圍是否達到了預期標準；(3)當評價指標存在定性指標時，可采用區間數形式對其進行量化，此時面臨參照對象和評價對象指標值均為區間數的情況。針對上述問題，無法簡單地應用傳統DEA方法及其改進方法去綜合評價決策單元的有效性，必須考慮新的處理方法對各決策單元進行綜合評價。

針對已有文獻研究中存在的不足和上述現實中存在的問題，本文通過分解的方法討論樣本單元和決策單元指標信息為區間數時用廣義DEA模型評價決策單元有效性的方法，并相應地構建了只有輸出的廣義區間DEA模型。同時，對模型的含義、求解以及性質等進行了分析。之后，探討了該方法在決策單元有效性分類和排序中的應用。最后，通過實例表明該方法的可行性和有效性。

2 只有樣本單元的輸出為區間數

2.1 區間樣本可能集的構造及IS-E有效性

為了給出區間樣本參考集下的決策單元有效(簡稱IS-E有效)概念，以下分三種情況進行討論：

(1)當評價指標為效益型，則區間樣本可能集TIB表示為：

TIB={Y|Y其中，由區間數的運算法則[25]可知，仍為區間向量。比較區間≥當且僅當且≥1和≥2表示兩個基本的序關系，?≥?≥下文中的區間比較同理。

定義1如果不存在Y∈TIB，y∈Y，使得yyp且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為IS-BE有效。

(2)當評價指標為成本型，則區間樣本可能集TIC表示為：

TIC={Y|Y

定義2如果不存在Y∈TIC，y∈Y，使得yyp且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為IS-CE有效。

TIBC={Y|Yc

定義3如果不存在Y∈TIBC，y∈Y，使得(yc,-yb)且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為IS-BCE有效。

2.2 基于區間樣本可能集的決策單元有效性度量模型及有效性判定

根據上述區間樣本可能集，可以建立度量決策單元IS-E有效性的只有輸出的廣義區間DEA模型：

為了應用上述模型判斷決策單元IS-E有效性，以下給出進一步的分析：

(?)若決策單元p為IS-BE無效，則由定義1可知存在Y∈TIB，y∈Y，使得yyp且至少有一個不等式嚴格成立。因此存在λ0使得故可知的最優值大于1，矛盾。證畢

類似可證以下定理2和定理3成立。

上述三種模型均是非線性規劃模型，可通過兩組線性規劃模型對其進行求解。

2.3 決策單元的IS-E有效性分析

類似可證以下定理5和定理6成立。

2.4 基于IS-E有效性的決策單元分類及排序

根據決策單元區間有效值，可將所有決策單元p(p=1, 2,…,n) 分為以下幾類：

通過上述分析，基于區間樣本可能集的廣義DEA區間有效值反映了決策單元的有效性程度，因此，可根據區間有效值對決策單元進行排序。

為了便于說明決策單元基于區間樣本單元的IS-E有效性評價問題，通過評價效益型輸出指標的決策單元為例具體說明：

例1考慮具有兩種效益型輸出指標的2個區間樣本單元和3個決策單元，其相應指標數據見表1。

表1 區間樣本單元和決策單元輸出指標數據

應用模型(IS-D)B可得表2中的結果，相應的區間樣本可能集和決策單元的分布可由圖1表示出來。

表2 決策單元IS-E有效值

圖1 效益型輸出的廣義區間DEA樣本可能集

由表2中決策單元的有效值可知，決策單元D1、D2、D3分別為強IS-BE有效、弱IS-BE有效和IS-BE無效。圖1顯示，由于決策單元D1位于最大值樣本前沿面所圍區域之外，因此強IS-BE有效；決策單元D2位于最小值樣本前沿面和最大值樣本前沿面所圍區域中，則弱IS-BE有效；決策單元D3位于最小值樣本前沿面所圍區域之內，則IS-BE無效。

3 只有決策單元的輸出為區間數

3.1 樣本可能集的構造及S-IE有效性

基于樣本可能集T的S-IE有效概念以下分3種情況定義：

(1)當評價指標為效益型，則樣本可能集TB表示為：

TB={y|y

定義5如果不存在y∈TB，使得yp∈Yp，yyp且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為S-IBE有效。

(2)當評價指標為成本型，則樣本可能集TC表示為：

TC={y|y

定義6如果不存在y∈TC，使得yp∈Yp，yyp且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為S-ICE有效。

TBC={y|yc

3.2 基于樣本可能集的決策單元有效性度量模型及區間有效性判定

根據上述樣本可能集，通過引入非阿基米德無窮小的概念，建立度量決策單元S-IE有效性的只有輸出的廣義區間DEA模型：

為了應用上述基于樣本可能集的只有輸出的廣義區間DEA模型判斷決策單元S-IE有效性，以下進行進一步的分析：

對于上述非線性規劃模型，可通過求解決策單元最大值觀測點和最小值觀測點的有效度量模型，得到區間決策單元p的有效值上限和下限。

當評價指標為成本型，具體度量模型為：

3.3 區間決策單元的S-IE有效性分析

類似可得以下結論成立。

3.4 基于S-IE有效性的決策單元分類及排序

根據決策單元的區間有效值，可將所有決策單元p(p=1, 2,…,n)進行分類：

通過上述分析，基于樣本可能集的廣義DEA區間有效值反映了區間決策單元的有效性程度，因此，可根據區間有效值對決策單元進行排序。

通過評價成本型輸出指標的區間決策單元為例，說明區間決策單元S-IE有效性評價問題。

例2 考慮具有兩種成本型輸出指標的2個樣本單元和3個區間決策單元，其相應指標數據見表3。

表3 樣本單元和區間決策單元輸出指標數據

應用模型(S-ID)C可得表4中的結果，相應的樣本可能集和區間決策單元的分布見圖2所示。

圖2 成本型輸出的廣義區間DEA樣本可能集

表4 區間決策單元S-IE有效值

變量單元D1單元D2單元D3θ0cθ-0cθ0cθ-0cθ0cθ-0c有效值1.7163.8330.8161.1860.6020.747

4 樣本單元和決策單元的輸出均為區間數

4.1 IS-IE有效性

基于區間樣本可能集TI的IS-IE有效概念分3種情況定義：

(1)當評價指標為效益型，則基于區間樣本可能集TIB，IS-IE有效性可定義為：

定義9如果不存在Y∈TIB，使得YYp且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為IS-IBE有效。

(2)當評價指標為成本型，則基于區間樣本可能集TIC，IS-IE有效性可定義為：

定義10如果不存在Y∈TIC，使得YYp且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為IS-ICE有效。

(3) 當評價指標為混合型，則基于區間樣本可能集TIBC，IS-IE有效性可定義為：

定義11如果不存在Y∈TIBC，使得(Yc,-Yb)且至少有一個不等式嚴格成立，則稱決策單元p為IS-IBCE有效。

4.2 基于區間樣本可能集的區間決策單元有效性度量模型

當樣本單元和決策單元輸出數據均為區間數時，根據區間樣本可能集TI，通過引入非阿基米德無窮小的概念，建立度量決策單元IS-IE有效性的只有輸出的廣義區間DEA模型：

為了求解上述3種非線性規劃模型(IS-ID)，考慮對區間決策單元最有利與最不利的情形，可得求解決策單元區間有效值上限模型和下限模型，具體如下：

(1) 當評價指標為效益型，則決策單元的區間有效值上限與下限模型如下：

(2)當評價指標為成本型，則決策單元的區間有效值上限與下限模型如下：

(3) 當評價指標為混合型，則決策單元的區間有效值上限與下限模型如下：

4.3 決策單元有效性分類及排序

依據上述分析，可將所有決策單元p(p=1, 2,…,n)分為以下幾類：

定義12若DMUp∈E+，則稱決策單元p為絕對IS-IE有效；若DMUp∈E，則稱決策單元p為部分IS-IE有效；若DMUp∈E-，則稱決策單元p為絕對IS-IE無效。

通過上述分析，廣義DEA區間有效值反映了區間決策單元的有效性程度，因此，可根據區間有效值對決策單元進行排序。

5 實例分析

針對樣本單元和決策單元指標取值為區間數時的評價問題，現以某地區的商業銀行分行運行業績綜合評價為例。為了借鑒其他分行的經驗更好地提升企業能力，從而提高企業的競爭力，設20家待評價的分行與同行業內的3家運行業績突出的同類分行作為標桿進行比較，每家銀行采用存款總額，其他存款、發放的貸款、收到的利息、服務費等5個輸出指標作為評價指標。表5為標桿分行的輸出指標數據，待評價分行輸出指標數據參見文獻[32]。

表5 標桿分行的輸出指標數據

由于評價指標均為效益型，且標桿分行和待評價分行的評價指標值均為區間數，通過只有輸出的廣義區間DEA模型(IS-ID)B，求解區間有效值上

表6 20家分行的區間有效值

對于20家分行的運營業績綜合評價，結合表6中分行的區間有效值，可得以下結論：

(1)分行1、8、10、17、19等5家分行的區間有效值下限值均大于1，即這5家分行均絕對IS-IE有效。表明與選取的3家標桿分行相比，這些分行在各項業績指標值最低(取區間值的最小值)時的綜合運營業績都高于3家標桿分行在各項業績指標值最高(取區間值的最大值)時的綜合運營業績。

(2)分行3、9、15等3家分行的區間有效值上限值大于1，下限值小于1，即這3家分行為部分IS-IE有效。表明與選取的3家標桿分行相比，當這些分行在各項業績指標值最高(取區間值的最大值)時的綜合運營業績高于3家標桿分行在各項業績指標值最低(取區間值的最小值)時的綜合運營業績，但是當這些分行在各項業績指標值最低(取區間值的最小值)時的綜合運營業績低于3家標桿分行在各項業績指標值最高(取區間值的最大值)時的綜合運營業績，說明分行3、9、15等3家分行業績指標仍有調整的空間。

(3)由于其他剩余分行的區間有效值上限小于1，即其他分行均為絕對IS-IE無效。表明與標桿分行相比，即使這些分行在各項業績指標值最高(取區間值的最大值)時的綜合運營業績也均低于標桿分行在各項業績指標值最低(取區間值的最小值)時的綜合運營業績，說明其他剩余的分行綜合業績評價未能達到標桿分行的標準。

根據4.3節決策單元有效性分類，結合待評價分行的運營業績綜合評價情況，可對20家分行運營情況進行如下等級分類，見表7：

表7 分行運營情況等級分類

與此同時，根據表6中待評價分行的區間有效值，可進一步對分行進行運營業績綜合排序。由于20家分行的運營業績綜合評價的有效值為區間數，本文運用模糊左關系方法[33-34]對這些分行進行運營業績綜合排序，可得排序如下：1>8>19>17>10>9>3>15>4>11>7>6>14>2>13>16>12>5>18>20，表明20家分行中分行1的綜合運營業績最優，分行20的綜合運營業績最差。

6 結語

本文提出一種基于樣本單元的區間數多屬性綜合評價方法。針對樣本單元或決策單元的評價指標取區間數，或兩者的評價指標均取區間數的情況，分別建立相對應的基于樣本單元評價決策單元有效性的只有輸出的廣義區間DEA模型，并通過區間有效值對決策單元進行全排序和進一步的分類。與傳統的數據包絡分析方法相比，本文提出的方法，將傳統DEA方法依據有效決策單元構成的評價參照系評價決策單元相對效率性拓展為依據任意參考集進行決策單元“非效率評價”在內的更具廣泛含義的DEA方法，并將傳統綜合評價中的指標點值擴展到區間值進行研究。文中建立的模型各有其一定的優越性和應用場景，可根據實際問題選擇不同類型的模型。