甲供資源約束條件下南水北調工程項目群工期-費用優化模型研究

豐景春，朱曉婧，李 明，張 可，2，薛 松

(1.河海大學商學院項目管理研究所，江蘇 南京 211100；2.國際河流研究中心，江蘇 南京 211100；3.江蘇省“世界水谷”與水生態文明協同創新中心，江蘇 南京 211100)

1 引言

近年來，“一帶一路”、京津冀協同發展等重大戰略的實施加速推進了大中型建設項目的全面發展[1]。但伴隨著建設項目規模的逐步擴大和參建單位的不斷增多，使僅含唯一承包商的單項目管理理論不能再繼續滿足涉及多利益主體和復雜利害關系的大中型建設項目管理的要求。為有效實現對大中型建設項目的管理，需協調工期、費用和質量這三大控制性目標，引入項目群管理勢在必行[2]。在目前基于工期和費用的競爭日趨激烈的環境下，項目群的工期—費用優化是在資源和優先關系的約束下，通過協調各合同項目的進度安排，達到項目群的工期和費用目標[3]。由于資源供方的差異，項目群的工期—費用優化又可分為甲、乙供資源約束條件[4]的度量。甲供資源是建設單位依據工程施工合同自行組織采購用于建設實施過程中的材料，有利于減少工程投資；而乙供資源是各承包單位分別采購的用于自身合同項目的材料，易造成整個項目群的材料冗余。因此，針對項目群多主體、多目標、多階段的特征，研究甲供資源約束條件下的項目群工期、費用協調優化對項目經理確定項目群中各合同項目的起始時間具有重要的決策意義。

藉于國內外不少專家學者的辛勤耕耘，有關單項目工期—費用優化問題的研究取得了豐碩的成果。例如：De等[5]研究了項目工期—費用優化的類型并闡釋了該類問題的復雜性，研究表明項目工期—費用優化具體可劃分為：最短工期問題、費用最小化問題和工期—費用曲線問題。Deǐneko和Woeginger[6]詳述了項目工期—費用優化的機理并提出了解決該類問題的智能算法。Haque和Hasin[7]研究了信息灰度下的項目時間—成本模糊優化。何正文等[8]從發承包雙方的交互作用出發，分別構建了兩者的項目工期—費用優化模型，結果表明項目的截止日期對業主的收益有反向抑制作用，而對承包商的收益有正向促進作用。蘇菊寧等[9]提出了建筑供應鏈的概念，引入獎懲機制，構建了獎優罰劣條件下的項目工期協調優化模型。于靜等[10]進一步研究了基于各工序間資源約束條件下的項目工期費用交換問題，研究表明各工序間資源沖突越明顯，項目工期越不易被縮短。鄭維博[11]豐富了資源約束條件下的項目工期—費用優化理論，更深入地研究了以發承包雙方凈收益最大化為目標的柔性工期下的項目調度問題。

綜上，目前被廣泛研究的單項目工期—費用優化一般只涉及單個承包商，以單一項目為管理對象，且僅以實現自身效用最大化為目標。而項目群工期—費用優化[12]是一組相關項目的整合優化，一般涉及多個承包商，以相互之間存在資源競爭和工期沖突的多個合同項目為研究對象，并以實現項目群整體效用最大化為目標。針對這一差異，在單項目工期—費用優化的基礎上，國內外學者更深入地探究了項目群工期—費用優化的機理。王益鋒和仲毅[13]基于各合同項目間的優先級排序實現了企業項目群的整體進度優化。耿瑞等[14]研究了基于圖形評審技術的多項目費用優化。豐景春等[15]和汪玉亭等[16]引入獎懲機制，構建了項目群工期提前/延誤的獎勵/懲罰模型，進一步完善了項目群的費用組成。張春生和嚴廣樂[17]引入資源時間因子，研究了結合時間—資源問題和時間—費用問題的項目群多目標優化。黃健倉[18]進一步研究了工期和資源雙重約束條件下的企業多項目時間—成本優化，研究表明資源的可用量不僅影響項目的進度安排，而且還對多項目的整體收益產生影響。Pinha等[19]以資源利用率最大化為目標，進一步研究了多資源約束條件下的多項目時間—成本優化問題，實現了企業多項目中資源的合理配置。

現有研究在項目群進度優化、費用優化、多項目調度等方面取得了較多的研究成果，為我國大中型建設項目群優化管理提供了參考。但是，現有研究主要借鑒了單項目工期—費用優化的研究思路，通常僅對項目群實施前的初始網絡計劃進行優化，而忽視了因工期延誤或工程量變更導致的對項目群實施過程中的初始網絡的動態調整。因而，項目群的工期—費用全過程優化仍有待實現。

為此，本文首先從甲供資源約束的角度，以業主支付合同款項的凈現值最小化為目標，研究了項目群實施前和實施過程中的兩階段工期—費用優化機理；然后，建立了非關鍵線路上合同項目工期延誤的懲罰費用函數，并構建了貫穿于項目群實施前和實施過程中的兩階段工期—費用優化模型；最后，結合南水北調某X項目群對比了不同工期—費用優化下的結果，推動了項目群多階段優化研究的發展，進一步完善了項目群優化管理理論。

2 甲供資源約束條件下項目群工期—費用優化機理分析

2.1 項目群的涵義

項目群[20-21]是一系列為適應組織內外部環境而相互聯結的合同項目的集群，且各合同項目均以組織的整體戰略目標為基礎，即項目群全局目標的實現有賴于各合同項目局部目標的統籌協調。其中，“全局目標”是指各合同項目的功能性目標以及圍繞著該合同項目功能展開的管理或控制性目標，如進度、費用、質量、安全等目標。假設項目群包含n個合同項目，按照一定的工藝關系和組織關系，這n個合同項目構成了如圖1所示的項目群網絡計劃圖。

圖1 項目群網絡計劃圖

2.2 項目群工期—費用優化機理分析

項目群由多個合同項目組成，且承擔這些項目的承包商不盡相同，故項目群的責任主體和利益主體呈現多元化。為避免不同的參與主體就材料質量方面扯皮，通常在施工合同中約定由業主負責供應用于工程施工的主要材料(鋼筋、水泥等)。

2.2.1 項目群實施前工期—費用優化機理分析

在項目群實施前，業主基于各合同項目的進度目標，結合其資源需求計劃，得到項目群的初始網絡計劃。然而，由于構成項目群的各合同項目是在一定邏輯關系下存在著資源競爭和工期沖突等矛盾的聯合體，且這一矛盾在平行工作的合同項目間尤為突出，故在甲供資源約束條件下，項目群的初始網絡計劃往往不能使業主支付款凈現值最小。此時，為實現對項目群初始網絡計劃的工期—費用優化，就不得不利用非關鍵線路上合同項目的自由時差和總時差，在資源限量條件下合理調度某些合同項目的起始時間。

2.2.2 項目群實施過程中工期—費用優化機理分析

在項目群實施過程中，受違約、不可抗力等不確定性因素的影響，某些合同項目可能會發生工期延誤[4]，連帶著其緊后及后續合同項目也受到牽連；若不慎恰巧危及至關鍵線路上的合同項目，那項目群總工期也隨之發生改變。這將打破項目群實施前的平衡狀態，即優化后的項目群網絡計劃無法再繼續實現業主凈支付費用的最小化這一目標。此時，為使實施前優化后的網絡計劃仍能達到項目群的費用目標，就需要適當地壓縮非關鍵線路上合同項目的工期，在工期約束條件下合理調度各合同項目的起始時間。綜上，除費用目標存在差異外，項目群實施過程中的工期—費用優化原理與實施前基本相同。

2.3 問題描述

在一個由n個合同項目構成的項目群中，記Pi為合同項目i的緊前項目集，Si為合同項目i的緊后項目集。由此，在滿足各合同項目的優先關系約束下，依據各合同項目的持續時間長短繪制出項目群的初始時標網絡計劃，如圖2所示。

圖2 項目群初始時標網絡計劃

假定業主方提供的資源包括K種柔性資源和多種固定資源。在這K種柔性資源中，rik表示第i(i∈1,2,…,n個合同項目在單位時間內對第k(k∈1,2,…K)種柔性資源的需求量，Rk表示單位時間內第k(k∈1,2,…,K)種柔性資源的可用量。為了不失一般性，設合同項目i可順利實施，即合同項目i(i∈1,2,…,n)滿足：

rikRk,i∈1,2,…,n;k∈1,2,…,K

綜上所述，本文所研究的問題是在滿足優先關系和甲供資源約束條件下，以業主支付款凈現值最小化為目標，分別就項目群實施前和實施過程中這兩種情況對項目群初始網絡計劃進行工期—費用優化。

3 基本假設與符號說明

3.1 模型構建思路

根據項目群管理理論，不同合同項目之間因其內部復雜的邏輯關系而存在對同種資源的競爭和沖突[23]。在項目群實施前，為實現業主支付價款的凈現值最小，通過調節各合同項目的開始時間以滿足資源限量的要求；在項目群實施過程中，一旦某些合同項目出現工期延誤的情況，必將對緊后及后續的合同項目或整個項目群產生影響。此時，為實現業主支付價款凈現值最小，通過壓縮非關鍵線路上合同項目的工期來滿足資源限量的要求。基于此，本文首先對項目群的初始網絡計劃進行工期—費用優化，然后再對優化后的網絡計劃進行工期—費用調整，以實現貫穿于項目群實施前和實施過程中的兩階段工期—費用優化。因而，本文所討論的業主支付價款不僅涵蓋了項目群執行過程中所需的直接工程費用、間接工程費用和材料價款，還囊括了因某一合同項目工期延誤而產生的懲罰費用[24]。

3.2 假設條件

(1)項目群中各合同項目之間的優先順序和邏輯關系保持不變；

(2)項目群總工期固定不變；

(3)項目群兩階段的甲供資源約束條件相同。

3.3 符號說明

(1)ESi、EFi、LSi和LFi：分別為第i個合同項目的最早開始時間、最早結束時間、最遲開始時間和最遲結束時間。

(2)TFi和FFi：分別為第i個合同項目的總時差和自由時差。

(3)STi和STj：分別為第i、j個合同項目的開始時間。

(4)di：第i個合同項目的完工時間。

(5)t：非關鍵線路上第i個合同項目的持續時間。

(6)F1i：項目群中第i個合同項目在執行過程中耗用的直接工程費。

(7)F3：壓縮項目群中非關鍵線路上合同項目的工期所需增加的費用。

(8)Q：材料價款。

(9)f(Ti)：非關鍵線路上第i個合同項目工期延誤Ti后產生的懲罰費用。

(10)b：工程間接費率。

(11)n-m：非關鍵線路上的合同項目個數。

(12)q：非關鍵線路上產生工期延誤的合同項目個數。

4 甲供資源約束條件下項目群工期—費用優化模型的構建

根據項目群工期—費用優化原理和模型構建思路，分別構建項目群實施前和實施過程中甲供資源約束條件下的工期—費用優化模型。

4.1 項目群實施前的工期—費用優化模型

S.T.STj-STi≥dii∈Pj

rik≤Rki=1,2,…,n;k=1,2,…,K

di≥0 ?i=1,2,…,n

4.2 項目群實施過程中的工期—費用優化模型

4.2.1 項目群實施過程凈現值與約束條件

S.T.STj-STi≥dii∈Pj

rik≤Rki=1,2,…,n;k=1,2,…,K

di≥0 ?i=1,2,…,n

4.2.2 非關鍵線路上合同項目i工期延誤的懲罰費用函數(f(Ti))

在項目群實施過程中，受違約、合同變更等不確定性因素的影響，合同項目可能會發生工期延誤。此時，為保證實施前優化后的網絡計劃仍能滿足業主的費用目標，則需要業主適當壓縮非關鍵線路上合同項目的工期以實現對項目群網絡計劃的動態調整，并向相應的責任主體提出一定的懲罰費用。為此，在構建項目群實施過程中的工期—費用優化模型前，應先分析非關鍵線路上合同項目的實際延誤時間與自由時差、總時差之間的關系[25-26]，建立項目群視角下非關鍵線路上合同項目工期延誤的懲罰費用函數。

假設項目群中非關鍵線路上第i個合同項目工期延誤Ti，試分析其與本項目的自由時差和總時差的關系，由此明確該項目工期延誤Ti后可能產生的影響。

(1)當0

(2)當FFi

(3)當Ti>TFi時，延誤時間Ti超出合同項目i自身的最大機動時間。在此情形下，工期延誤對項目群總工期產生影響。

基于上述三種情形的分析，建立非關鍵線路上合同項目i工期延誤Ti的懲罰費用函數如下：

式中：f(Ti)—第i個合同項目延誤Ti時間后的懲罰費用函數；Wi—業主就合同項目i對本合同項目帶來的工期延誤向承包商提出的懲罰費用；Wi+j—業主就合同項目i給緊后及后續項目帶來的工期延誤向承包商提出的懲罰費用；Wt—業主就合同項目i給整個項目群帶來的工期延誤向承包商提出的懲罰費用。

5 案例分析

5.1 案例背景

本案例為南水北調工程X項目群，X項目群由17個合同項目組成，分別為土建施工項目(A)、設備安裝項目(B)、水泵及其附屬設備項目(C)、電機及其附屬設備項目(D)、主變壓器項目(E)、管理所房屋工程項目(F)、橋式起重機制造項目(G)、清污設備制造項目(H)、11kv及以下電氣成套設電纜項目(I)、GIS組合開關項目(J)、淮陽公路橋項目(K)、視頻監視系統項目(L)、10kv及以下電氣成套設備設電纜項目(M)、高壓/低壓成套設備項目(N)、房屋建筑裝飾工程項目(O)、管理所環境綠化工程項目(P)、微機監控項目(Q)。因其工程量大，涉及的合同項目多，且施工周期長，故業主對該項目群X中的17個合同項目進行統一管理，并自行組織采購材料用于建設實施過程中。假設項目群X中業主提供的資源包括1種柔性資源和若干種固定資源，且已知該柔性資源在單位時間內的可用量為12/d。X項目群合同總價款為12000萬元，工程間接費率b=0.18萬元/天，資金折現率α=0.21%，同時規定業主按月向承包商支付工程價款。本文以南水北調工程X項目群為典型案例，對其初始網絡計劃進行項目群實施前和實施過程中的兩階段工期—費用優化，并對優化結果進行對比分析。項目群X的初始網絡計劃如圖3所示，各合同項目占用的工期、資源和費用等見表1。

圖3 項目群X的初始網絡計劃

表1 項目群X中各合同項目的工期、資源、費用等參數

5.2 工期—費用優化

5.2.1 項目群實施前的工期—費用優化

在X項目群實施前，為實現業主支付價款的凈現值最小，常常需要調節計劃中各合同項目投入工作的開始時間以此來滿足資源限量的要求。即在甲供資源約束條件下，以X項目群的初始網絡計劃和資源需求曲線為底，逐時段檢查X項目群中若干個并行工作的合同項目對第k種柔性資源的使用量是否超過單位時間內該種資源的限量。若某一時段內各并行工作的合同項目不能再繼續滿足X項目群的資源約束條件，則往往按總時差由小到大的順序累計該時段內各合同項目的資源強度，將總時差較大的超過單位時間內資源限量部分的合同項目向后推移。其中，在各合同項目不允許間斷作業的假定條件下，前一時段內已經開始工作的合同項目應優先累計。綜上，在甲供資源約束條件下對項目群X的初始網絡計劃進行初步優化，得到實施前優化后的網絡計劃，如圖4所示。

圖4 實施前初步優化后的項目群X的網絡計劃

經計算，X項目群的總工期為60個月，業主需支付的費用凈現值為12137.42萬元，關鍵線路為A-E-J-I-M-P，即土建施工項目—主變壓器項目—GIS組合開關項目—11kv及以下電氣成套設電纜項目—10kv及以下電氣成套設備設電纜項目—管理所環境綠化工程項目。

5.2.2 項目群實施過程中的工期—費用優化

已知非關鍵線路上共有3個合同項目發生延誤，其中管理所房屋工程項目(F)實際延誤時間小于其自由時差，即該合同項目的工期延誤僅對自身的起始時間產生影響；水泵及其附屬設備項目(C)的實際延誤時間介于其自由時差和總時差之間，即該合同項目的工期延誤將同時對自身及緊后合同項目的起始時間產生影響；房屋建筑裝飾工程項目(O)的實際延誤時間大于其總時差，即該合同項目的工期延誤將使項目群總工期延長。基于此，對南水北調工程某X項目群實施前優化后的網絡計劃進行動態調整，由此得到了進一步優化后的項目群時標網絡計劃和資源曲線圖，如圖5所示。

圖5 實施過程中調整后的項目群X的網絡計劃

綜上，本文以涉及多個承包商，涵蓋多個合同項目的大型復雜工程—南水北調工程項目為案例，分析了甲供資源約束條件下的項目群工期—費用優化，構建了貫穿于項目群實施前和實施過程的兩階段工期—費用優化模型，有助于更好地幫助承包商協調各合同項目間的優先關系，有利于業主實現項目群的費用目標，且有益于項目經理確定各合同項目的起始時間。

5.3 結果分析

(1)在X項目群實施前，X項目群初始網絡的總工期為60個月，優化前業主需要支付的費用凈現值為13609.59 萬元；在X項目群優化后，X項目群的總工期仍為60個月，業主需支付的費用凈現值則為12137.42萬元，在X項目群的總工期不變的情況下，業主需要支付的費用凈現值下降 12.13%。

(2)在X項目群實施過程中，因管理所房屋工程項目(F)、水泵及其附屬設備項目(C)、房屋建筑裝飾工程項目(O)等合同項目發生工期延誤，為保證項目群X在實施過程中仍能達到項目群的整體費用目標，需在工期和甲供資源的雙重約束條件下，對項目群實施前優化后的網絡計劃進行動態調整。經過調整后，項目群X的總工期保持不變，仍為60個月，業主需支付合同款凈現值減少為12096.3萬元，相比原來的12137.42萬元，業主支付的費用凈現值不但沒有增加，反而下降了0.34%，實現了X項目群兩階段費用優化的目的。

6 結語

(1)與單項目工期—費用優化相比，甲供資源約束下的項目群工期—費用優化涉及多個利益主體和責任主體，情況復雜。為此，項目群工期—費用優化需要考慮各合同項目之間的關系。即當項目群中某一合同項目工期延誤導致突破資源供應強度時，不僅要考慮到該合同項目工期延誤對自身工期的影響，而且不能忽略其對緊后及后續合同項目，甚至是項目群總工期的影響。

(2)在X項目群實施過程中，考慮甲供資源和工期的雙重約束，業主支付合同價款的凈現值不僅要包括項目群實施前業主需支付的費用，還應考慮因某些合同項目工期延誤而帶來的懲罰費用，同時也應涵蓋因非關鍵線路上的合同項目工期壓縮而增加的費用。

(3)甲供資源約束條件下的項目群兩階段工期—費用優化不僅可以保證既定的工期目標得以實現，還能控制業主的費用支出，達到既定的費用目標。