考慮隨機利率和通貨膨脹的連續時間資產組合選擇

李愛忠，汪壽陽，彭月蘭

(1.山西財經大學財政金融學院，山西 太原 030006；2.中國科學院大學經濟與管理學院，北京 100190)

1 引言

自1952年Markowitz發表了他的博士論文 “資產組合選擇的均值方差理論”以來[1]，投資組合理論得到不同深度和廣度的拓展，取得了很多研究成果。由于真實的市場環境中，資產收益具有明顯的時序變化特性，單調的靜態資產配置模型往往不能適應實際組合管理的變化，從而實現多期均衡乃至連續時間下的動態投資組合優化。Merton基于總消費期望效用最大化的原則，運用隨機最優控制技術，解決了經濟個體在不確定環境下的最優投資和消費決策問題[2]，提供了該類問題的經濟學含義和分析范式，奠定了后續研究的堅實基礎。后來的研究人員在Merton模型的基礎上做了很多擴展，如Cox J等在連續時間刻畫的隨機方程下給出期權定價的簡化方法[3]；Sharpe WF等提出負債約束下投資組合管理的新方法[4]；Leippold M等通過幾何方法研究基于資產和負債的多期均值-方差的投資組合優化問題[5]；Chiu M C在連續時間均值-方差優化框架下得出資產和負債管理的優化方法[6]；Papi M采用動態規劃的最優化方法對資產和負債進行管理與約束[7]；Deelstra G等在CIR框架下給出資產組合選擇的最優投資策略[8]。這些成果不同程度上拓寬了投資組合問題的分析范式，豐富了資產組合選擇的研究內容。

國內也有大量關于資產組合選擇問題的研究文獻，特別是以隨機控制模型為基礎的資產組合選擇問題的研究層出不窮，將Bellman最優化方法應用于資產負債組合選擇的連續時間模型中，廣泛研究最優消費投資策略、模糊投資組合評價、資產定價的風險溢價問題、突發事件和參數不確定性對動態資產組合選擇的影響以及養老金的最優投資問題等等[9,23-27]。相關研究雖然拓展了組合理論的應用邊界，然而其模型參數的靜態假設常常不符合真實市場的不確定環境。事實上，風險資產的價格往往隨市場波動而變化，其投資組合的目標之一就是降低這種波動帶來的風險，在金融市場中選擇各種資產的最優組合策略，使投資者在整個投資時期內累積財富的期望效用達到最大化。利率作為金融市場上最重要的價格變量之一，其波動性直接影響著資產價格、資產動態管理和投資組合策略的選擇。從金融市場發展歷史來看，金融危機、股市崩盤等突發事件經常會對資產價格造成一定沖擊，由此進一步影響資產組合的投資策略。在現代經濟社會中，通貨膨脹是比較普遍的經濟現象，它和資本市場中金融資產價格的關系歷來是金融學研究的重點。通貨膨脹會影響資產價格的收益率，特別是與證券市場收益的關系更為直接，它通常會引起資產價格的重估從而導致投資組合的重新配置。所以，理性的資產組合策略在最大化收益和最小化風險的基礎上，還應該考慮資產的收益能否彌補通貨膨脹帶來的損失以及利率、匯率等宏觀經濟因素變動造成的影響。近年來，關于隨機利率模型下的資產組合理論也取得一些研究成果，如應用隨機最優控制和HJB方程以及鞅方法對Vasicek利率模型和CIR利率模型下的組合投資問題進行研究。但這些文獻僅僅研究了隨機利率環境下的證券組合投資問題[10-15]，并沒有綜合考慮通貨膨脹、隨機利率和交易成本等不完全市場面臨的實際情況，且這些研究大都以效用函數的分析方法為基礎，而實際金融市場中，基于效用函數的具體形式及參數由于其經濟含義不明確且難以確定下來，限制了其在真實市場環境中的應用效果。

本文將通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素引入金融市場模型中，以便更好地刻畫不完全市場的真實情況，并將利率假定為服從Vasicek利率模型的隨機過程，通貨膨脹和交易成本等因素的引入可為機構投資者提供更為客觀和科學的理論指導。同時，充分考慮宏觀經濟和市場內在因素的影響，應用連續時間的動態均值-方差方法得到符合實際環境下的值函數HJB方程，通過數值逼近方法求解相應HJB方程，得到雙目標優化問題的最優投資策略，并用實證方法與國內證券市場上同類型優質基金的性能和表現進行對比研究，以期對投資組合問題的研究提供借鑒意義。

2 考慮通貨膨脹等因素的投資組合決策模型

2.1 模型的建立

考慮有限時域固定投資時間期為[0,T]的投資問題，各種資產可連續交易，假設市場上有無風險證券、股票和債券可供選擇，其中利率期限結構采用Vasicek模型，其利率只受一個布朗運動的影響，設瞬時無風險利率滿足Ornstein-Uhlenbeck過程，即滿足以下隨機微分方程：

(1)

其中α,β,σt是嚴格正常數，上式表明了利率的均值回復，β是利率長期平均水平，在給定利率方程下，可推導出固定期零息票債券和利率的值。

根據上式，得到利率的顯式解為：

(2)

Vasicek隨機利率模型簡單好用，但其缺點是利率會以一個正的概率取負值。Cox、Ingersoll和Ross于1985年研究推導出CIR模型，運用Merton所使用的研究方法，通過將利率的平方根引入到波動率的函數中，當利率增加時利率的波動也會跟著比例增加，即將瞬時利率隨機過程的隨機項系數設成與瞬時利率平方根大小成正比，構建了一個基于市場利率為正的模型，得出投資機會是隨機變化的結論并給出了隨機環境下利率為正的約束條件。從式(2)不難看出，若對利率方程施加約束r>β，則可避免Vasicek隨機利率取負值的情況。根據預期理論，長期債券的現期利率是短期債券預期利率的函數，債券期限越長，短期債券預期利率降低會使收益率曲線下降。因此，如果利率下行導致收益率曲線下降，利率有回歸長期平均水平的要求，此時通過Vasicek隨機利率模型得到的利率可確保為正值。不失一般性，假設在到期期限T時，零息票債券P(t,T)時刻價格為

P(t,T)=eA(t,T)+B(t,T)r

(3)

(4)

邊界條件A(T,T)=0，進一步得P(t,T)滿足微分方程

(5)

其中λr表示風險的市場價格，也即利率受布朗運動的擴散溢價。無風險證券價格滿足如下微分方程：

(6)

另外風險資產股票的價格滿足如下隨機微分方程刻畫的隨機過程：

(7)

(8)

由于投資者關注最大化財富的真實增長率，而不是名義總資產的增長情況，因此在考慮通貨膨脹影響下，對資產價格進行適當處理，以獲得實際價格。這里采用Brennan和Xia定義資產真實價值的方法，即通過名義資產價格和消費品價格水平的可比關系對資產的真實價值做出評價，設πt和ψt分別表示通貨膨脹率和消費品價格水平，二者滿足如下的擴散過程：

(9)

令m=ψ-1代表單位貨幣的購買力，則m可以理解為貨幣價值。根據伊藤定理，m滿足如下隨機微分方程：

(10)

(11)

(12)

式中為了研究問題方便忽略協方差的影響。假設投資者是理性的風險厭惡者，其最優策略為終期

資產價值最大和忍受風險最小，即最大化EX(T)和最小化風險VarX(T):

(13)

其中li,hi為投資份額的限制，引入Lagrange乘子λ，易知上述問題等價為以下問題

(14)

該優化問題并非標準的二次型隨機最優控制問題，借助Zhou X Y and Li D[16]嵌入法可將類似問題轉化為易處理的輔助問題，即求解如下優化問題的最優策略：

(15)

(16)

(17)

2.2 值函數的數值算法

2.2.1 值函數迭代的HJB方程

根據值函數迭代的動態規劃算法，利用隨機最優控制理論，以值函數為中心，由貝爾曼最優性原理可得到值函數V(x,r,π)滿足的HJB微分方程：

(18)

Kim&Omberg揭示了最優控制方程解的特殊構建方式[17]，值函數通常與目標函數具有形式一致性，這里采用值函數的線性多項式逼近形式：

Vx=V1x+V4r+V5π+V7,Vxx=V1,

Vr=V2r+V4x+V6π+V8,

Vπ=V3π+V5x+V6r+V9,Vrr=V2,

Vππ=V3,Vxr=V4

由最優控制問題的一階必要條件可得最優投資策略為：

(19)

將Vx,Vxx,Vr,Vπ,Vrr,Vππ,Vxr,ω*(t)代入Bellman方程,并令其等于M即：

(20)

2.2.2 多重網格計算優化法

由于值函數的迭代性和實際問題的約束比較復雜，隨機控制方程一般不存在解析解，帶條件約束的HJB方程幾乎沒有封閉解，具有遞推決策和隨機過程約束的非典型資產組合選擇優化問題一般不能通過Riccati方程得到其解，這常常導致經典的偏微分算法在解決實際問題時往往不能達到滿意效果[18-21]。本文根據文獻[22]將原問題對應的HJB方程通過離散化的多重網格近似算法轉化為相應的輔助優化問題，通過遺傳規劃等啟發式算法間接得到原問題的最優解。具體方法為：首先用線性核函數逼近價值函數并進行多重網格離散化處理；然后將最優控制方程轉化成標準最優化問題；最后通過遺傳規劃和神經網絡等算法求解約束優化問題得到最優控制。其中值函數的自變量主要考慮資產總值、通貨膨脹和利率等隨機變量，動態參數為x,r,π，然后將x,r,π多重網格離散化處理，代入(20)形成一組向量{M1,M2,…,Mk}，通過相應步驟處理后，最終隨機最優控制方程轉化為如下最優化問題，由此可得其最優資產配置策略。即

(21)

上述問題是帶有隨機過程約束的非線性最優化問題，本文使用遺傳規劃算法求解投資者相對滿意的投資策略。即在資產價格隨機漫步并滿足(21)要求的約束條件下，對于給定的初始財富，最優投資策略是使投資者獲得期望的終端財富最大并且忍受風險最小。

3 基于支持向量機的參數校正

金融市場是非常復雜的非線性系統,資產價格與許多不確定因素有關,資產價格的波動具有某種規律性，其歷史數據和成交量、換手率等信息蘊含著預測未來股價的信息。近年來，基于機器學習等人工智能技術大量應用于金融領域，進行量化投資[28]。本文通過支持向量機預測股票價格中潛含的非線性、時變參數。支持向量機無需依賴全部數據，可以從小樣本出發，在解決高維特征分類、模式識別和回歸問題方面有獨特優勢，里面包含大量的核函數，可以靈活解決非線性的回歸和分類等問題，即使樣本量不是海量數據，也有比較強的泛化能力，在機器學習領域中有廣泛的應用背景。為了揭示金融市場價格波動的不穩定性和復雜變化特征，解決本質上非線性的優化問題，本文采用基于ε-不敏感函數的非線性核映射SVM方法，根據經濟運行指標和金融市場技術指標預測模型必備的各主要參數值。由于不可能所有樣本點都落在ε管道中，ε-不敏感函數的支持向量回歸機通過引入松弛變量ξi來解決噪音干擾的問題。定義ε-不敏感損失函數:

L(f(x),y,ε)=

(22)

同時利用結構化風險最小化準則構造其最小化目標函數:

s.t.yi-w·φ(xi)-b≤ε+ξi,

(23)

目標函數中C的大小表征訓練誤差對于ε樣本的懲罰程度，支持向量機靈活地在模型復雜度和經驗誤差之間進行折衷以便提升泛化能力。該優化問題可轉換為對偶問題，通過引入拉格朗日乘子可得到所求問題的支持向量。

這里以上文提到的隨機利率模型為例，通過支持向量機給出相關參數的具體校正方法。步驟1，把方程(1)滿足的隨機微分方程離散化可得

ε～N(0,1)

(24)

當然從方程(1)和(2)可以得到隨機利率的均值和方差，聯立它們可以獲得α,β,σt與均值、方差的顯式關系，這樣就可以通過神經網絡或支持向量機為步驟2變相生成對應參數的預測數據，然后混合蒙特卡洛隨機產生的數據作為優化數據輸入，為后續工作打下良好基礎。這些處理技術在圖像識別、自然語言處理、神經網絡以及人工智能等領域被廣泛應用[29-30]，可以極大增強其預測能力。與一般統計方法的參數估計相比較，該方法的好處是通過支持向量機出色的函數逼近功能和預測能力來校正相應參數。同樣地，對于通貨膨脹和風險資產滿足的隨機微分方程中的參數也可采取類似方法進行參數校正。由于通貨膨脹率是宏觀變量，可以考慮更長的時間跨度，取1978年到2017年的數據為宜；風險資產的數據則取1995年到2017年為研究對象。另外，交易費用由平均交易成本和沖擊成本加權合成，沖擊成本包含兩個部分：一是流動性溢價，二是價格反向變化導致的高于最優買賣報價的中值成本。

由于金融市場資產價格具有很強的時變特征，其收益率結構往往不能用標準的概率分布描述，股價運動狀態更多呈現非線性非高斯波動情形，用一般幾何布朗運動刻畫股價擴散方程容易忽略結構變化的問題。因此，本文采用支持向量機分段逼近、反復訓練的方式提升目標泛化能力，先選取指定時間段的樣本進行擬合，然后不斷移動滑窗塊選取另一時域的測試樣本進行預測從而估計相關參數值。本文以中債指數、滬深300和為債券和股票的參照物，選取研究時段為1995年1月3日到2015年12月22日期間數據為訓練樣本，2015年12月23日到2017年6月23日期間數據為測試數據，其中滬深300指數2005年才上市運行，1995到2005期間數據可由上證指數和深圳成指加權合成。通過基本面分析和技術分析相結合的方法，選取反映有投資價值的價格、流動性、市凈率和市盈率等指標，利用支持向量機進行預測，從而得到連續時間模型中各參數的估計值。最后，利用本文提出的投資組合模型構造大類資產配置組合，并與市場上有代表性的指數基金相比較，以便更好反映各投資策略之間的區別，從而有效甄別出組合的最優投資策略。

4 實證研究

4.1 參數校正

本文通過支持向量機預測的方法進行參數校正，風險資產以滬深300指數為參照物，相關輸入變量包括：價值指標(收盤價、最高價、開盤價、最低價)、流動性指標(成交量、平均換手率、成交金額)和企業基本面指標(流通市值、市凈率、市盈率)等，輸出變量為均值和方差，然后嵌入遺傳算法，通過多次迭代得到方程中涉及收益率和波動率的參數值。利率部分參數值則參考金融機構人民幣二年期定期存款基準利率，然后和中債指數收益率和波動率的預測結果加權合成得到參數估計值。其中突發事件可能影響到資產價格的驟然變化，可通過德爾菲法進行綜合分析和調整。表1列出采用支持向量機得到各變量的最終結果。

表1 支持向量機方法得到的各參數值

4.2 連續時間投資組合的優化結果

本文通過粒子群算法優化支持向量機中的主要參數，粒子群優化算法是根據飛鳥集群活動的規律性啟發衍生出來的進化計算技術，可用于解決全局最優化問題。它模仿鳥群的捕食行為，搜尋距離食物最近的周圍區域，不斷更新個體最優位置使整個群體的運動產生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優解。PSO總體上采用粒子的速度決定其方向和距離，在搜索過程中，粒子通過跟蹤個體最優Pbest和全局最優Gbest來更新自己，通過不斷迭代和更新找到整個種群最優解，具有較快的收斂速度。PSO用如下公式優化粒子的速度和位置，其特征用位置、速度和適應度三項指標表示:

V′=V·α+c1r1(Pbest-P)+c2r2(Gbest-P)

P′=P+V′

(25)

表2 數值逼近得到值函數在測試期間的各參數值

為了更清楚刻畫隨機利率和通貨膨脹對資產配置的影響，放寬對投資組合中資產配置的比例限制，加入賣空機制，考察投資者的投資組合性能和偏好的變化情況。圖1分別展示了隨機利率和通貨膨脹影響下資產組合的有效前沿，從圖上可以發現，投資組合在加入通貨膨脹和利率因素后，有效前沿進一步向右下方移動，即在同樣預期收益和忍受同等風險的情況下，組合收益有減小趨勢。究其原因，通貨膨脹和利率變動會影響資產估值和企業融資水平，利率升高，融資成本增加，企業盈利能力下降，降低了投資者期望收益率，組合資產的內在價值下降；通貨膨脹則會對經濟造成負面影響，通貨膨脹上升在一定程度上減緩潛在經濟增長速度，使得資產價格承壓，收益率下降，尤其通脹后期，往往配套緊縮貨幣政策推動利率上漲，風險資產吸引力減小，投資者出于避險需求，資金配置將轉向債券和銀行市場。這無疑從另外角度揭示組合內部適當增加防通脹的對沖性資產可有效改善有效前沿，使其向左上方移動，進一步獲得更穩定的投資收益。

圖1 考慮通脹情況和隨機利率環境下有效前沿變化示意圖

圖2顯示了通脹情況和隨機利率環境下投資組合內各資產投資比例變化的情況，可以發現，通貨膨脹會影響投資預期，引起投資機會集的改變，導致投資策略隨之變化，嚴重通貨膨脹甚至會削弱資產收益能力，組合為了保持收益最大而風險最小必須重新優化資產配置比例，這直接導致不同資產間的投資比例隨經濟環境呈現潮漲潮落的變化，為了避免通貨膨脹帶來更大損失，投資組合會適時調整風險資產頭寸來對沖組合價值下跌的風險；同時，利率的不確定性特別是加息情況下，投資者風險偏好和其有效前沿均會受到影響，導致風險調整收益、夏普比等指標下降，表現在投資策略上就會逐步增加無風險資產頭寸來抵御利率變動造成的不利影響，相應組合的資產配置比例將會隨時間推移而發生非線性非光滑變化。因此，實際金融市場中，通貨膨脹和利率變動通常情況下都會引起投資組合中資產配置比例的非線性變化，有效前沿也會改變，債券與股票之間的比例必須動態調整，簡單維持固定比例不足以保持組合總價值最優且風險最小，這無疑擴充了基金分離定理對有效前沿資產組合進行線性組合投資的限制，投資者可以通過連續時間資產配置的非線性均值調整策略來近似最優策略以保證組合總資產最優。本文可為從事實際投資活動的機構投資者提供實實在在的策略建議，對其管理組合起到重要指導作用。

圖2 考慮通脹情況和隨機利率環境下債券股票投資比例變化示意圖

另外，為進一步考察本文提出的連續時間投資組合的具體效果，特別引入有代表性的市場風格指數作為比較對象，以反映不同投資組合間的差別。表3列出了連續時間投資組合和上證指數、深證成指、創業板指數、中小板指數和中證500指數收益情況和業績對比的表現，其中連續時間投資組合的投資比例采用三元組的均值組合{0.6956,0.1239,0.1805}按照股票、債券和無風險資產的順序表示。從表中不難看出，2015年6月股災發生以來市場長時間處于調整當中，加之英國脫歐、美聯儲加息預期增強，市場跌聲一片，各指數難有好的表現，但采用連續時間的動態投資組合策略在組合收益、組合方差、夏普比率、信息比率、最大回撤損失以及VaR等方面都優于市場上其他指數，實證研究發現，連續時間的非線性資產配置策略可以獲得更高的風險調整收益，組合方差、最大回撤損失以及在險價值等指標都有所改善，策略在一定程度上表現出相當的優越性。

表3 不同組合的收益情況和業績比較

5 結語

本文通過隨機控制技術、Bellman最優性原理、HJB方程和數值逼近方法研究了通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素影響下的連續時間投資組合選擇的最優化問題,利用嵌入法得到終端財富最大和其風險最小的雙目標優化問題的最優投資策略，用實證方法與國內證券市場上代表性指數基金進行對比研究，發現組合最優策略很大程度上受宏觀經濟變量如通貨膨脹和利率以及投資者風險偏好和異質信念等因素影響，資產配置比例并不是簡單維持固定比例就可以保持組合總價值最大和風險最小，拓展了基金分離定理。實證結論對資產配置及組合管理具有重要的指導意義，本文的創新點在于：

1)將通貨膨脹、隨機利率和交易成本等因素引入到連續時間投資組合模型中，使得模型更貼近實際，通過多重網格化的數值逼近方法和貝爾曼優化原理得到相應最優控制問題的最優策略。

2)突破效用函數的分析方法，利用嵌入法引入輔助問題解決了連續時間的動態均值-方差投資組合問題，運用數值逼近法得到了含約束HJB方程的數值解。

3)采用基于支持向量機的非線性預測方法進行時變參數估計，克服了資產價格服從正態分布以及爆發性、集聚性等非線性現象和大樣本要求，SVM利用核函數進行非線性映射，更有利于揭示金融市場非線性和非高斯分布的本質，比傳統的統計方法更有效。

實際投資環境中，借貸利率是不同的且利率的影響因素極其復雜，投資組合的管理還會受到負債條件的限制，利率的期限結構和其服從的隨機過程很難被明確地確定下來。因此進一步研究有關利率模型下資產-負債管理問題的最優投資策略，考慮利率服從更加復雜的利率模型且利率與風險資產存在一般的相關性，深入研究負債情形下多種風險資產的最優投資策略問題仍是一個長期努力的方向，相關研究亟待進一步深入。