一道壓軸試題的命題手法探究

黑龍江省伊春一中 (153000) 李翠翠福建省泉州五中 (362000) 楊蒼洲

1.試題展示

(Ⅰ)求函數J1(x)與J2(x)的單調區間，并且討論函數JK(x)的單調性；

(Ⅱ)已知m∈N+，求證：

(ⅰ)方程J2m-1(x)=1有兩個根β2m-1,α2m-1；

(ⅱ)若(i)的兩個根滿足β2m-1>0,α2m-1<0，則β2m-1<β2m+1，α2m+1<α2m-1.

2.命題手法探究

2.1 從函數f(x)=ex的泰勒展開式說起

泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函數f(x)利用關于(x-x0)的n次多項式來逼近函數的方法.

當k為奇數時，函數f(x)的圖像恒在函數g(x)的圖像的上方；當k為偶數時，x>0時，函數f(x)的圖像恒在函數g(x)的圖像的上方；x<0時，函數f(x)的圖像恒在函數g(x)的圖像的下方.其圖像增減趨勢如圖1，2所示.

圖1 圖2

由此可設置試題1的問題(Ⅰ).

圖3 圖4

接著，我們來觀察f(x)，g(x)這兩個函數在x=0附近的圖像.

觀察得，隨著k的增大，函數g(x)在x=0附近的圖像總是越來越靠近函數f(x)的圖像，如圖5.

圖5 圖6

由于k取奇數和k取偶數時的函數圖像有著較大的差異，為了研究的方便，為了更加直觀地觀察f(x)，g(x)這兩個函數圖像的位置關系，命題者僅研究了k為奇數的情況.此時，Jk(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,+∞)單調遞增.如圖6.

如何說明函數g(x)在x=0附近的圖像總是隨著k的增大而越來越靠近函數f(x)的圖像呢？反應在函數Jk(x)的圖像中，直線y=a(a>0且a→0)與函數Jk(x)的圖像在y軸兩側各有一個交點，且隨著k的增大，這兩個交點越來越靠近y軸.

命題者取a=1，由此可設置試題1的問題(Ⅱ).

3.試題解法探究

上述的分析都是基于圖像的直觀，從圖像的直觀觀察出的函數的性質，下面我們予以證明.

問題(Ⅰ)的解答：

(3)下面用數學歸納法證明：J2m-1(x)的單調遞減區間為(-∞,0)，單調遞增區間為(0,+∞).

①當m=1時，命題成立；

綜上述，方程J2m-1(x)=1有兩個根β2m-1,α2m-1.

(ⅱ)當x>0時，J2m+1(x)-J2m-1(x)=