一類不等式的簡證

新疆生產建設兵團第二中學 (830002) 張國治 江睿煊 張益斌 李 響新疆烏魯木齊市第68中學 (830001) 何雨辰

面對龐雜的知識體系和大量的模擬試題，如何針對高考競賽展開高效的針對性復習？通過對近幾年高考和競賽試題的研究，筆者有一個很有趣的發現——試題各異，出題角度多變，但探源溯流，它們來源于同一個問題．我們可以把這類不斷衍生的題目稱為“題根”．那么如何尋找“題根”呢？將源于課本的題目進行提煉與升華形成結論，然后再將其廣泛應用于解題實踐中，這便是尋覓“題根”的不二法門了.這一過程意義非凡，因為茫茫題海中很多題目表面不同，但實質一樣(可歸結于同一個“題根”)．一個“題根”加工而成的結論，其功效不亞于教材中的一個定理.筆者從一個重要的不等式出發，探源溯流得到競賽題、高考題命題的題根，并給出一種高效學習數學的方法，敬請同行指正.[1]

下面以近期競賽試題和數學通訊問題征解為例談談此不等式的應用，追本溯源，以期拋磚引玉，凸顯回歸題根的重要性.

分析1：解決三角形中的問題，通常是采用“減元”的策略，即將“邊元”和“角元”做一轉化.考慮到待證的不等式是分式結構，可以利用本文結論和正弦定理便有如下簡潔明快的證法.

證明1：根據正弦定理，右邊等價于

分析2：由題設結構聯想到射影定理：在ΔABC中，有a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA成立.由本文結論推廣便有如下別具一格的證明.

點評：上述證明過程中巧妙的用到了射影定理和本文引理的推廣，由證明過程不難得到下面推廣：

分析：本題幾個作者提供標準解答是先利用比較法證明2(a4+b4)≥(a+b)(a3+b3)2.然后利用基本不等式獲解，解法顯得很突兀，非常不自然且不易推廣.但倘若利用本文的結論便有如下簡潔明快的解答.

按上述證明不難作如下推廣：

按上述證明不難作如下推廣：

按上述證明不難作如下推廣：

分析：本題標準解答利用柯西不等式獲解，但倘若利用本文的結論便有如下別具一格的解答.

按上述證明不難作如下推廣：

分析：本題標準解答利用柯西不等式獲解，但倘若利用本文的結論便有如下別具一格的解答.

按上述證明不難作如下推廣：

總之，研究“題根”對教學、命題和解題都有深遠的意義，變幻多端的數學題目猶如蔥郁繁密的樹葉.看似難以捉摸，實則息息相關，故而在研究問題時應撥開層層枝葉，尋其根源，以本見全.如果把一道數學題比作一棵大樹，那么，“題根”就是它的根系，“題根”周圍的知識生長點不斷推廣和延伸，逐漸長成了參天大樹.因此倘若我們回歸課本，并且沿著課本例習題的生長點正確推導下去，便能“占領”學習數學的制高點，把握全局，輕松“玩轉”數學.這也完全符合“回歸課本”的學習理念，也滿足了不同學生的認知需求，為學生的個性化發展提供了滋養的土壤.“把一個比較復雜的問題，‘退’到最簡單最原始的問題，把這個最簡單最原始的問題想通了、想透了”然后再進行歸納、綜合而實現質的飛躍，“這是學好數學的一個訣竅”，引申開來，這何嘗不是“教好數學的一個訣竅”.