素養導向下的2018年高考數學試題選析

廣東省增城中學 (511300) 邱昌燕

一、試題回顧

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

全國卷Ⅰ文科20.設拋物線C:y2=2x，點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點．

(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN.

二、試題分析

這兩道題是2018年全國卷Ⅰ理科和文科的解析幾何解答題，第二問都是證明角相等，兩角相等本屬平面幾何范疇，但用初中平面幾何難以求證，必須把角化歸為斜率之和為零采用代數的方法求證，故兩道題都體現了高中解析幾何的精髓，也即考查了解析法.理科第19題以橢圓為載體，文科第20題以拋物線為載體，然這兩道題的第二問有本質的關聯嗎?

三、本質探究

為探究問題的本質，用字母代替數字，且把問題設置成存在性問題進行探究.

把③④代入⑤化簡得mp=a2.此結論對于雙曲線會是怎樣情況呢？

解：對于雙曲線的運算只須把橢圓中的b2改成-b2，仍得出結論：mp=a2.探究到此，對于圓的將要探究的結論則顯而易見了.

探究4 設圓C：x2+y2=a2，過圓C內部點P(p,0)的直線l與C交于A,B兩點，問是否在x軸上存在點M(m,0)?使得∠OMA=∠OMB,O為坐標原點.

探究5 設拋物線C:y2=2px，過拋物線C內部點T(t,0)的直線l與C交于A,B兩點，問是否在x軸上存在點M(m,0)，使得∠OMA=∠OMB，O為坐標原點.

解：假設存在點M(m,0),使得∠OMA=

把①②代入③得m+t=0,即m=-t.

綜合探究1至探究5可得四個結論：

結論3 過拋物線C:y2=2px內部點T(t,0)的直線l與C交于A,B兩點,則存在唯一點M(m,0)(m=-t),使得kMA+kMB=0.

結論4 過拋物線C:y2=2px外一點M(m,0)分別作兩斜率互為相反數的直線交曲線于A,B,D,E,則等腰梯形ABDE任一對角線必過定點T(t,0)(t=-m).

四、功能評價

任子朝先生在《從能力立意到素養導向》一文中指出：“素養導向不但強調知識和智力,更強調知識的遷移和后天的習得.考查目的在于更清晰、準確地考查學生的智力水平、思考深度、思維習慣和科學態度.素養導向的高考命題重視學科觀念、規律的考查，將這些學科知識作為素養養成和發展的基礎和先決條件.素養導向高考命題注重科學思維的考查，科學思維是對客觀的事物本質的屬性以及潛在的規律和相互之間的關系的一種認知方式.素養導向的高考命題更注重科學探究能力的考查.素養導向的高考命題更注重情境化試題的考查，情境活動包括生活實踐活動與學術探究情境活動[1].”而本文選用這兩道高考試題設計的五個探究符合從能力立意向素養導向命題的轉變，對提升學生的數學素養有一定的功效，具體表現在下面幾個方面：

首先，用字母代替數字化的探究運算，對運算要求比較高，對提升學生的運算素養很有幫助，只有注意力高度集中，具有強烈運算意識和運算品質才盡可能避免運算出錯.其次，上述探究活動本身就是一個學術知識探究情境活動，故有助于培養學生科學的探究素養.再次，上述探究活動的設計有助于培養學生深度化思考的習慣和激發學生興趣，蘇霍姆林斯基說：接近和深挖事物的本質及其因果聯系的實質.這一過程本身就是興趣的主要源泉.最后，經過深度思考探究后這一類型問題有本質的認識后也即提升了學生素養,對探究試題后的優美結論:mt=a2(有心曲線)和m+t=0(拋物線)了解和掌握可幫助學生快速解決同類型的試題，如：

(1)求點G的軌跡C的方程；

(2)過點T(4,0)作斜率不為0的直線l與(1)中的軌跡C交于A,B兩點，點A關于x軸的對稱點為D，連接BD交x軸于點Q，求△ABQ面積的最大值．

2018年全國高中數學聯賽陜西賽區預賽試題：如圖，圓C與x軸相切于點T(2,0)與y軸的正半軸相交于A,B兩點(A在B的上方).且|AB|=3.

(1)求圓C的方程；

學生會解答問題是能力問題，學生能看清問題的本質從而能快速解答就是素養問題，顯然素養考查比能力考查要求更高，更強調平時深度的思考及后天的習得.