累加型、累乘型數列不等式解一類函數壓軸題*

四川省成都市大邑縣師大三中 (611331) 李小強 鄧文俊四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641100) 劉成龍

數列作為特殊的函數，具有一般函數不具有的特性.因此，從數列角度認識函數體現了特殊到一般的認識方式.累加法、累乘法是數列問題解決中的兩種重要方法，運用這兩種重要方法可以獲得累加型、累乘型數列不等式.本文運用累加型、累乘型數列不等式解決一類函數壓軸題.

一、累加型、累乘型數列不等式簡介

1.累加型、累乘型數列不等式

定理1 若數列{an}滿足an-an-1≥bn(n≥2,n∈N*),a1≥b1，則an≥b1+b2+b3+…+bn.

證明:由不等式的相加法則得：(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)≥b2+b3+…+bn，化簡得an≥a1+b2+b3+…+bn，又a1≥b1，則an≥b1+b2+b3+…+bn.

2.累加型、累乘型數列不等式解決問題的基本步驟

對關于正整數的(或可轉化為)和式或積式的論證中,往往可以用累加、累乘型數列不等式證明.形如證明：

用累加法(累乘法)證題過程中需要從兩個方面入手：

第一步：判斷n=n0(n0為初始值)時是否成立；

若上面兩步都成立,逐項累加可以得到(a1+a2+a3+…+an)≥f(n).

同理可得a1·a2·a3·…·an≥f(n).

注：特別指出，上面的“≥”符號可以替換為“>”、“≤”、“<”中的任意一種.

二、運用累加型、累乘型數列不等式解一類函數壓軸題

分析:(Ⅰ)an=(b-1)bn-1(略)；

評注：此題的常規做法一般有數學歸納法、放縮法兩種，而數學歸納法證明n=k+1成立時，也要用到放縮法，而放縮法的關鍵在于放縮的尺度，很是考驗技巧性.過程顯得繁雜許多，而運用累乘法解決此不等式具有很強的目的性,步驟簡潔.有興趣的讀者可以試著用數學歸納法和放縮法做一下此題，與累乘法作一對比，其中優點顯而易見.

分析:(Ⅰ)a≥-1，過程略；

本文介紹了累加、累乘型數列不等式在解一類函數壓軸題中的應用，權作拋磚引玉，希望大家繼續對累加、累乘型數列不等式的應用作深入的研究.