探究源頭 善于遷移 追伸思緒
——例析抽象函數(shù)問題的求解

江西省吉安市第一中學(xué) (343000) 郭天平 張?jiān)S生

抽象函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，很多學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容望而生畏，難以理解.因此，作為教師在教學(xué)的過程中，則更應(yīng)該注意教學(xué)的方式方法.而使抽象函數(shù)形象化、具體化、特例化是解決抽象問題的三種重要方法.

一、探究源頭揭示本質(zhì)

求定義域問題是抽象函數(shù)最常見的問題，對(duì)于這種問題，我們?cè)诮虒W(xué)的過程中可以做一個(gè)形象的比喻：每一個(gè)函數(shù)都是一臺(tái)加工的機(jī)器，這臺(tái)機(jī)器只能加工某個(gè)尺寸范圍內(nèi)的產(chǎn)品，而表達(dá)式f(W)中的W則是加工機(jī)器的入口，因此，對(duì)于同一臺(tái)加工機(jī)器函數(shù)來說，能輸入W內(nèi)自變量的范圍是一定的，也即W內(nèi)整體的范圍不變.

點(diǎn)評(píng)：求解中經(jīng)過整體代換，能拓展學(xué)生的整體代換能力.

二、善于遷移化難為易

在考察抽象函數(shù)問題時(shí)，常將某一個(gè)或某一類函數(shù)的性質(zhì)描述抽象化，甚至是進(jìn)行一些變形，從而使學(xué)生對(duì)這類問題很難找到解決問題的突破口.如果能逆向思維,大膽猜想,遷移出平時(shí)已學(xué)過的滿足這一性質(zhì)的具體函數(shù)，那么參照這個(gè)具體函數(shù)的相關(guān)特征性質(zhì)，就能很容易地解決要考察的問題.

例3 已知函數(shù)f(x)滿足：定義在(0,+∞)上的函數(shù)，對(duì)于任意的x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0成立.

(1)設(shè)x1,x2∈(0,+∞)，若f(x1)

(2)解關(guān)于x的不等式f[x2-(a+1)x+a+1]>0.

析解：由條件猜想該函數(shù)為f(x)=logax且a>0,a≠1，參照其性質(zhì)可讓問題迎刃而解.

(2)令x=y=1代入可得，f(1)=0.由(1)可知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù)，∴原不等式等價(jià)于01時(shí)，解集為{x|1

三、追伸思緒探尋捷徑

賦值法是解決抽象問題的一種重要手段，抽象函數(shù)的性質(zhì)是由條件恒等式給出，可通過賦特殊值將抽象化為具體，從而找到解決問題的突破口.但如何賦值？為什么要這樣賦值？需要細(xì)心研究，通過追伸條件與條件之間，條件與結(jié)論之間所產(chǎn)生的思緒并進(jìn)行反復(fù)試驗(yàn)，才能找到解決問題的捷徑.

例5 對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，則f(2012)=.

評(píng)注：賦值法不只是對(duì)變量賦予特定數(shù)字，有時(shí)需要賦予某個(gè)特定的代數(shù)式，甚至是兩者相結(jié)合.

抽象問題的求解對(duì)學(xué)生抽象思維和創(chuàng)新能力更高層次的要求，研究抽象問題必須回到抽象的源頭——具體，在教學(xué)過程中可充分利用好各種手段，大膽創(chuàng)新使抽象問題具體化，這樣學(xué)生才能學(xué)得輕松，理解深刻，求解時(shí)就能得心應(yīng)手.