“圓”滿解題:例談輔助圓求最值

安徽省安慶市第二中學 (246001) 王 慶

最值問題是高中數學中重要的內容，常常與其它知識點一起考查，可以從多個角度思考，能用多種方法解決.它能夠全方位考查學生解題能力和數學思想，因此最值問題是高考的重點和熱點.由于最值題型較多，因此根據試題選擇解題方法是這類問題的難點.數形結合思想是高中數學中最重要的數學思想之一，數形結合法往往能讓抽象問題直觀形象化，讓復雜問題簡單化.下面介紹利用數形結合思想構造圓來處理最值的方法.

一、外接圓解單動點問題

最值問題中一定含有動點(變量)，若只有一個動點(變量)時，常常構造外接圓解決問題.

圖1

圖2

二、組合圓解多動點問題

最值問題中含有多個動點(變量)，常常需要構造多個圓，利用動點(變量)間關系處理問題.

圖3

例3 已知實數x，y滿足(x-2cosθ-3)2+(y-2sinθ-4)2=1，θ∈R.求x2+y2取值范圍.

圖4

解決最值問題時，常常選擇數形結合法，以形導數，以形助數，既直觀形象，又減少了計算量，同時還體現了直觀想象的數學核心素養.圓具有對稱性，圖形簡單等特點，作為考查數形結合思想的載體方便易行，并且事半功倍.