有關奇完全數的一點注記

張四保，劉啟寬

（1.喀什師范學院數學系，新疆 喀什 844008；2.昆明學院數學系，云南 昆明 650214；3.成都信息工程學院數學學院，四川 成都 610225）

1 預備知識

設N是正整數集合，設σ（n）是正整數n所有不同正約數（包括1和其自身）的和函數.如果正整數n滿足σ（n）＝2n，則n被稱為完全數.此時，若n是偶數，則n被稱為偶完全數；若n是奇數，則n稱為奇完全數.到目前為止，只發現了48個偶完全數，而尚未找到奇完全數，也未能給出其存在與否的合理性證明.是否存在奇完全數是數論中一個盡人皆知的沒有解決的問題.［1］

奇完全數存在性問題雖尚未解決，但其有著眾多的研究熱點，如相異素因數個數的下界估計與素因數的大小估計，以及奇完全數的下界大小估計等.對于這些有關奇完全數的熱點問題的研究情況，可參見文獻［3－8］.

對于奇數而言其個位數字必是1，3，5，7，9中之一.而對于奇完全數的各個位次上數字的取值情況，以及取值條件的確定，對奇完全數存在的問題具有一定的促進作用.本文通過對奇完全數的Euler因子以及非Euler因子及其指數的討論，利用中國剩余定理對n的個位數字進行探討.

為了敘述的方便，現對一些符號加以說明：

（1）ordp（n）表示一個非負有理數s，使得ps整除n，而ps＋1不整除n；

（2）［x］表示不超過實數x的最大整數；

2 主要結論及證明

引理1 令π為給定奇完全數n的歐拉素因子，則有πordπ（n）≡π（mod 5）.

證明 如果π＝5，則證明是平凡的.現在令π≠5，因為ordp（n）是偶數，所以

由費馬小定理及Legendre符號的定義，有

故引理2得證.

定理1 令π為給定奇完全數n的歐拉素因子，則有

［1］蓋伊R K.數論中未解決的問題［M］.第二版.張明堯，譯.北京：科學出版社，2006：59.

［2］EULER L.Commentationes arithmeticae collectae［J］.Tractayus de Numerorum Doctrina，1849，2：515－517.

［3］HAGIS P.Outline of a proof that every odd perfect number has eight prime factors［J］.Math Comp，1980，35：1027－1032.

［4］NIELSEN P P.Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors［J］.Math Comp，2007，76：2109－2120.

［5］ZHANG SIBAO，DENG YOUNG.Numberω（n）of distinct prime factors for a kind of odd perfect number［J］.中國科學院研究生院學報，2011，28（4）：548－550.

［6］VOIGHT J.On the nonexitence of odd perfect numbers［J］.MASS Selecta，2003：293－300.

［7］GOTO T，OHNO Y.Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108［J］.Math Comp，2008，77：1859－1868.

［8］COHEN G L，SORLI R M.On the number of distinct prime factors of odd perfect number［J］.Journal of Discrete Algorithms，2003（1）：21－35.