乘法模型及其對乘法概念形成的價值探析

陳新超

[摘 要]乘法概念是乘法計算與應(yīng)用的基礎(chǔ)。各版本教材在設(shè)置“乘法”教學內(nèi)容時，都加入了豐富的乘法模型。不同特征的乘法模型，對教學到底有什么價值，如何開發(fā)這些價值，需要細細研究。搞清這些問題，教師就能精準把握教材，使教學活動有的放矢。

[關(guān)鍵詞]乘法模型;概念形成;價值

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）02-0036-01

研究人教版教材發(fā)現(xiàn)，小學乘法內(nèi)容涉及四大模型：（1）同類量合并模型;（2）倍率模型;（3）物品分配模型;（4）四邊形面積模型。此外還有一些非典型模型，如計價模型、時速模型、幾何倍增模型等。豐富的乘法模型，為教師研究乘法概念的形成提供了參考。

一、全面統(tǒng)計，教材中乘法模型各有側(cè)重

統(tǒng)計各類乘法模型，發(fā)現(xiàn)有如下特點：

其一，乘法的不同模型出現(xiàn)頻率不均衡。據(jù)權(quán)威統(tǒng)計，人教版教材中的乘法模型共計307個，其中“同類量合并模型”148個，占比48.2%，佐證了“同類量合并模型”為第一模型的觀點。

在四種主要模型中，“物品分配模型”僅有12個，而提供物品分配模型的初衷，并不是介紹乘法的功能，而是為了滲透數(shù)學思想方法。可以說，真正意義上的“物品分配模型”數(shù)量為零，亟待補充完善。

在非典型模型中，商品計價模型、時速模型分別為10個和12個，工效模型只有3個，說明商品計價模型和時速模型為主要模型。

其二，各種乘法模型集中于中年段。二、三年級，乘法模型主要是加法和倍率模型。三年級下學期，學生接觸了16個加法模型和17個四邊形面積模型。到四年級，學生接觸4個計價模型和6個時速模型。至此，基本完成了對整數(shù)乘法主要模型的積累。

五年級小數(shù)乘法意義的理解以豐富的乘法模型為依托，讓學生在處理豐富的模型過程中，將整數(shù)乘法意義類比遷移到小數(shù)乘法意義上。如：

由上表可知，因為課程改革，小數(shù)乘法的意義不再細分為小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)，因此編者意圖通過乘法模型的共融性（物品分配模型不適用于小數(shù)乘法）直接一次性建構(gòu)小數(shù)乘法概念。

盡管六年級設(shè)計的乘法模型品類齊全，但是倍率模型數(shù)量暴增至52個，占比61.2%，反映出倍率模型成為傳輸乘法概念的主要載體。

二、形式多樣，乘法模型讓概念更加豐富

第一，鞏固同類量合并模型的基礎(chǔ)作用。相同數(shù)量連續(xù)相加是一切乘法模型的基礎(chǔ)。學生最初認識乘法，是從“相同加數(shù)連續(xù)相加”開始的，無論是哪一章，只要涉及乘法，相同加數(shù)連續(xù)相加都是首選模型——將幾個相同加數(shù)的和簡寫為乘法形式。另外，每一種新的乘法模型的出現(xiàn)，都是先將其轉(zhuǎn)化成加法模型，如倍率模型：2的3倍需要構(gòu)設(shè)出3個2相加;求長3米、寬2米的長方形面積的四邊形面積模型，要將長方形劃分成6個邊長為1米的正方形，然后用“每行3個[×]2行=6個”來推演。

第二，乘法倍率模型的深入剖析。倍率模型是一種新型的乘法模型，應(yīng)該引起高度重視。倍率問題一旦類推遷移到小數(shù)領(lǐng)域，受漢語言語法的影響，學生理解起來會很費勁。如理解“8的4倍”容易，就是用8[×]4來表示4個8連加，但是理解“用8[×14]來計算8的[14]倍”就很困難。因此，教師要對倍率模型的意義進行深入剖析。

第三，四邊形面積模型的妙用。四邊形面積模型很直觀，可以作為理解同類量合并模型的素材，也可用來揭示分數(shù)乘法的算理。在初次接觸乘法時，可結(jié)合圖1和圖2來說明。計算圖1圓圈的數(shù)量就是用相同加數(shù)的連續(xù)加法，為“5個[×]3堆”，而轉(zhuǎn)化為圖2后，加法模型則轉(zhuǎn)化為四邊形面積模型，為“底5（5列）[×]高3（3層）=面積15平方（個）”。

綜上，學生在學完全部的乘法模型后，教師要匯總梳理，使學生在深入掌握乘法后，摸透乘法的應(yīng)用面，系統(tǒng)建構(gòu)整數(shù)乘法，為小數(shù)乘法的學習打好基礎(chǔ)。學生學完分數(shù)乘法后，還需進行二輪梳理，認識到物品分配模型不適用于分數(shù)，進而第二次構(gòu)建乘法體系。

（責編 黃春香）