摘 要：一題多變即變式練習，指有計劃地對命題進行合理的轉換，以突出對象本質屬性的教學方法，其憑借對學生思維的靈活鍛煉和促進學生在習題解決實踐中掌握重點理論知識的作用而在數學有效教學方法中占據一席之地。平面幾何是初中數學課程內容的重要構成部分，亦是學生進入更深入立體幾何模塊的開始和培養其空間想象能力的前奏。而一題多變則依靠其適應平面幾何由可變性的條件、結論、圖示構成的優點而成為一種針對此模塊有效的教學方法。

關鍵詞：一題多變；幾何教學；應用

一題多變必得有可變的因素，在總的對構成平面幾何題目的條件、結論、圖示三要素進行變動的背景下，教師可將此變式方式以對象本質考察為中心，按照學生理解力的遞進規律、觸及知識范圍的擴展和逐層遞進式的揭示的標準分為由淺到深、由窄到寬、由表到里的變式訓練。

一、 由淺到深——依據解法關卡量的增加變式

由淺到深是人類思維的基本規律，亦適用于學生對某一知識的逐級內化過程。對于剛剛接觸幾何理論的初中學生而言，對應幾何規律進行簡單直接的兩三步證明是其應具有的接受初態。但隨著學習的深入和幾何圖示的漸趨復雜和題目所給條件的逐漸減少，其對學生看圖、辨圖、識圖和思辨能力的要求則不斷提高，得出正確解法所需要的難點關卡量和證明步驟則相應增多。所以，教師應依照此積極對學生進行變式訓練，以促進學生對幾何知識的深度理解與整合能力的提高，并為其之后接受立體幾何及更高層次幾何學知識奠定堅實的基礎。

例如：在“全等三角形”的變式訓練中，我便按照解法得出關卡量漸增的規則對原始題目中的條件或所需證明的結論進行改變，以增加學生思維的深度和提高其靈活看待問題的意識能力。我設計的原始題目為：如圖1，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求證：DE=AC。

在這里，學生只需對全等三角形SAS的判定定理和“全等三角形對應邊相等”的性質定理進行直接運用，便可輕松求證，這是對學生全等知識的第一步、最簡單的考查。在此之后，我將其變式為：如圖1，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求證：DE⊥AC。

在這里，題目中的原始條件并未發生改變，但所要求證明結論的得出，需要在原始題目解題步驟基礎上增加證明DE⊥AC的步驟，即在完成△ABC≌△BDE的論證過程后，延長DE交AC于點F，證明在△AEF中，∠A+∠AEF=90°，利用全等三角形對應角∠A和∠D相等，及作為對頂角的∠BED和∠AEF相等，得出∠DBE=∠AFE=90°即可。這是對原始題目的延伸變式，此能夠通過學生在證明三角形全等之后進行的關乎對頂角性質和三角形內角和的思考促進其思維深度的提升。在此之后，我對此題進行了第三種更深層次的變式：如圖2，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BE⊥AC，FD=CD，求證BF=AC。

在這里，本意還是讓學生求證△ABC≌△BDE，但是與上面第一道變式比較而言，它增加了圖形復雜度，改變了條件，使得兩個三角形全等結論的得出所需要通過的關卡量也相應增加。具體難點在于：需要讓學生脫離通過原始題目和變式一訓練形成的定勢思維，根據條件反向逆推全等成立的條件：AAS，將證明關鍵定位在說明∠CAD=∠FBD上，然后利用三角形內角和定理求得。這樣的層級變式對學生靈活利用全等判定和性質定理、思維能力及識辨圖形能力的提升具有重要的作用。

二、 由窄到寬——依據知識觸及面的擴展變式

學生真正數學能力提升的標準在于在實際數學問題中能否實現對數學知識的綜合型運用，即能否根據題目解答要求調取相關知識記憶，并將其正確合理地運用于問題解決中。所以，按照知識觸及面由窄到寬變化的規則進行的數學問題變式是促進學生綜合運用知識，以升華內化數學的系統性和邏輯性思想。

例如：在學習完《相似三角形的性質》一節后，可以按照由依據判定、性質定理直接對三角形相似進行證明，到漸次擴展至與其相關的中考真題，因為中考題皆出于對學生知識綜合運用能力的考查，其觸及的知識范圍相對于單純的以相似三角形為主的題目而言也會相應擴大。我給同學們出的原始題目為：如圖3，已知AD⊥BC于點D，∠CAD=∠FBD，求證△BFD相似于△ACD。

在這里學生只需要利用題中已知條件和“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定定理直接證明即可。在對此進行較難變式題目的訓練之后，我給同學們出示了一道中考類型的變式題：如圖4，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D點，已知，BD=6，CD=4，則高AD的長為多少。

這道題除涉及相似三角形判定、邊邊比例等外，還結合了前面所學的全等三角形的相關知識，是對學生綜合三角形知識的考查。在具體的解答過程中，學生還需要過點B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，最后作圖結果為圖3，然后先利用ASA的定理證明△AFE≌△BCE，再利用“兩角對應相等，兩個三角形相似”的定理證明△BDF∽△ADC，在此之后，通過已知條件和相似三角形的對應邊之比得出AD的長即可。這是一個在較高難度的幾何圖形中進行已知條件填充和未知條件求取的過程，對于培養學生對三角形全等、相似一體要素的注意能力和嚴密的邏輯思維能力具有顯著作用。

三、 由表到里——依據逐層遞進式的揭示變式

由表及里是一種對事物本質的逐漸揭示過程，體現在幾何數學學習中，便是題目以簡單的外部形式呈現，但當學生認為此簡單的表象即是題目考查主旨而輕易去著手解題時，卻發現簡單的只是表象，而在表象內部的某一點才是題目的重難點，而題目真正考查的也在于此。對題目進行此類的變式，能夠讓學生在不輕易看輕一道題的前提下快速識別它表象之外的真正的重點。

例如：在與“圓”相關的題目中，我給同學們出了這樣一道題：如圖5，點A、B、C、D都在⊙○上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，求⊙O的直徑。

在這里，通過∠ABC=90°，則根據“圓的直徑對應的圓周角是直角”的定理，可判斷出AC是⊙○的直徑，連接AC，則∠ADC也為直角，所以△ACD為直角三角形，再根據AD和CD的數值，求出直徑AC為13。所以，這道題表面在求直徑，但內在關鍵在于對“圓的直徑所對的圓周角是直角”定理的利用，此即是考查重點。在此之后，我給同學們又出了一道變式練習：如圖6，AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，∠ABC=50°，求∠DAB。

關于這道題，學生利用思考慣性，能很快將BD相連，并知道這道題一定要利用“圓的直徑對應的圓周角是直角”的定理，即∠ADB=90°，但當學生輕易利用此去求∠DAB時，會發現這里還有更深層次的利用“等弧所對的圓周角相等”得出∠CBD和∠ABD相等，進而根據相關已知條件，求得∠DAB的度數。在這里，學生很容易將直徑所對的圓周角為直角當作此題的考查重點，但當其去細細推敲時，在直角圓周角表象的背后實則隱藏著的是弧和角的關系的內里。可見，這樣的變式訓練能夠讓學生在思考過程中逐漸生成對題目考察重點的識辨意識和能力，用謹慎縝密的思維去看待思考每一個問題。

除按由淺到深、由窄到寬、由表到里的方式進行幾何模塊變式訓練，還可以按照學生思維的規律和學習的具體內容，挖掘更多、更有效的變式類型，讓學生在變式中逐漸明晰其中對象本質以及變化因素，提高其思辨能力。

參考文獻：

[1]馬春燕.初中幾何教學中的一題多變[J].數學學習與研究，2017（20）：145+147.

[2]劉延炳.一題多變 一題多證[J].中學課程輔導（初二版），2004（2）：19.

作者簡介：馮擎豪，山東省煙臺市，祥和中學。