一道模考題解法的探究與啟示

摘 要：在歷年高考的三角函數(shù)與解三角形高考題中，常涉及三角形中中線、高線、角平分線問題。本文從模考題多角度的解題，變式以及推廣等得到高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的一點(diǎn)啟示。

關(guān)鍵詞：高考；解法；思想方法；教學(xué)

一、 試題呈現(xiàn)

題目2017年皖北地區(qū)聯(lián)考17題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的所對邊長分別為a，b，c，已知函數(shù)f（x）=sin（2x-π6）滿足：對于任意x∈R，f（x）≤f（A）恒成立。

（1） 求角A的大小；

（2） 若a=3，求BC邊上的中線AM長的取值范圍。

本題中考查三角函數(shù)的性質(zhì)、正余弦定理、重要不等式等知識(shí)，突出了對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，具有一定的綜合性。

二、 解法探究

解法1：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x-π6）取最大值是x=kπ+π3，k∈Z，

而A∈（0，π），所以A=π3。

（2） 在△ABM中，AM2+34-2AM·32·COS∠AMB=c2。

在△ACM中，AM2+34-2AM·32·COS∠AMC=b2。

兩式相加得：AM2=b2+c22-34。在△ABC中，b2+c2-2bccosπ3=3，得3

所以

解法2：（2）在△ABM中，AM∈32，32AMsinB=32sin∠BAM。在△ACM中，AMsinC=32sinπ3-∠BAM。由兩式得：AM2=sin2B+sin2C+sinBsinC

因?yàn)锽+C=2π3，可得AM2=54+sin2C-π6

因?yàn)镃∈（0，2π3）所以AM∈32，32

解法3：（2）因?yàn)锳M=12（AB+AC）

所以AM2=14（AB+AC）2=14（b2+c2+2bccosA）因?yàn)閏osA=b2+c2-a22bc得：AM2=b2+c22-34。在△ABC中，b2+c2-2bccosπ3=3，得3

所以AM∈32，32

本題第（2）問可以變式：

（1） 求BC邊上的高線AM長的取值范圍？

（2） 求A的角平分線AM長的取值范圍？

△ABC改為“銳角△ABC中”，若a=3，求BC邊上的中線AM長的取值范圍？”

△ABC改為“鈍角△ABC中”，若a=3，求BC邊上的中線AM長的取值范圍？”

本題第（2）問可以推廣：

1. 在△ABC中，內(nèi)角A的所對邊長分別為a，若A為銳角，則BC邊上的中線AM長的取值范圍是AM∈a2，121+cosA1-cosAa。

2. 在△ABC中，內(nèi)角A的所對邊長分別為a，若A為鈍角，則BC邊上的中線AM長的取值范圍是AM∈121+cosA1-cosAa，a2。

三、 教學(xué)啟示

學(xué)生在高三復(fù)習(xí)時(shí)，已經(jīng)是做了很多題的狀態(tài)，老師也是講解了很多題，不僅注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，還注重新題型的教學(xué)，但是學(xué)生在考試時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)很多問題，即使是考查的知識(shí)點(diǎn)一樣，題型變化了學(xué)生還是想不到，筆者基于這一現(xiàn)象，提出了三個(gè)解決問題的方法：

（一） 用思想方法指導(dǎo)解題

數(shù)學(xué)思想方法是指學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，任何數(shù)學(xué)問題在變化時(shí)都離不開其出題的本質(zhì)。老師在教導(dǎo)時(shí)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究出題者的意識(shí)，明白這個(gè)數(shù)學(xué)題在考查什么，是哪一類的知識(shí)或者是哪種解題思路，數(shù)學(xué)注重的是思想和方法，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確的解題思路，注重問題的本質(zhì)探究，得出一系列問題的解題思路，讓學(xué)生更容易掌握利用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（二） 注重?cái)?shù)學(xué)思維的引導(dǎo)

學(xué)生在解題時(shí)，要學(xué)會(huì)關(guān)注問題的本質(zhì)，整合各類解題思路，進(jìn)行思路整合有兩個(gè)方面：一方面從題目本身出發(fā)，研究問題給出的條件和需要解決論證的問題，另一方面結(jié)合學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法或者是公式進(jìn)行解題，比如運(yùn)用正余定理解決方程問題，求中線的取值范圍。老師在教學(xué)時(shí)要多進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生自己熟練掌握，看見這一類問題，學(xué)生就知道考查的知識(shí)點(diǎn)是什么。

（三） 培養(yǎng)題后的反思能力

學(xué)生在高三復(fù)習(xí)時(shí)，會(huì)進(jìn)行大量數(shù)學(xué)題的練習(xí)，學(xué)生在解題過程中提升自己的能力，要鍛煉學(xué)生舉一反三的能力，不能讓學(xué)生只局限于書本上的學(xué)習(xí)。學(xué)生能力的提升是學(xué)生從自身出發(fā)的提升，是有意識(shí)的提升，從做過的題中找到新的解題思路，運(yùn)用到新的數(shù)學(xué)題中，在做題中反思、思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自我反思，提高學(xué)生以后的解題效率。

作者簡介：

占北淮，安徽省宿州市，安徽省宿城第一中學(xué)。