淺談n級行列式的計算方法

趙永良

[摘要]本文探討了行列式的計算方法問題，介紹了計算行列式的幾種行之有效的方法。除比較常用的定義法、化三角形法等方法外，還介紹了換元法、冪級數(shù)變換等技巧性較高的行列式的計算方法。只要靈活地運用這些計算技巧和方法，就可以基本上解決行列式的計算問題。

[關(guān)鍵詞]n級行列式;逆序數(shù);代數(shù)余子式;換元法;冪級數(shù)變換

引言

行列式的計算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)中的一個重難點。對于階數(shù)較低的行列式，一般可直接利用行列式的定義和性質(zhì)計算出結(jié)果。但對于一般的n階行列式，特別是當(dāng)n比較大時，直接用定義計算行列式往往比較困難和煩瑣，因此研究行列式的計算方法則顯得十分必要。只有掌握一定的計算技巧和方法，才能使計算大大簡化，從而得出結(jié)果。將本文介紹的幾種計算方法加以綜合應(yīng)用，就能基本L解決行列式的計算問題。

一、預(yù)備知識

（一）定義n級行列式

其中j₁j₂…j_n為n級排列，τ（j₁j₂…j_n）為它的逆序數(shù)。

（二）性質(zhì)

性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置后值不變，D'=D。

性質(zhì)2 行列互換，行列式不變。即

性質(zhì)3 一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個數(shù)乘此行列式。即

性質(zhì)4 如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外與原來行列式的對應(yīng)行一樣。即

性質(zhì)5 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零。

性質(zhì)6 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。即

性質(zhì)7 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式值不變。即

性質(zhì)8 交換行列式中兩行的位置，行列式反號。即

二、重要結(jié)論及證明

定理（拉普拉斯定理）設(shè)在行列式D中任意取定了K（1≤k≤n-1）個行，由這K行元素組成的一切K級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。

證 設(shè)D中取定K行后得到的子式為M₁，Mt它的代數(shù)余子式分別為A₁，A₂，…，A_t，定理要求證明

D=M₁A₁+M₂A₂+…M_tA_t.

由于M_iA_i（i=1，2，…，t）中每一項都蔇D中一項而且符號相同。而且M_iA_i和M_jA_j（i≠j）無公共項，因此為了證明定理，只要證明等式兩邊項數(shù)相等就可以了。顯然等式左邊共有n！項，為了計算右邊的項數(shù)，首先來求出t。根據(jù)子式的取法知道

t=C_n^k=n！[k！（n-k）！]

因為M_i中共有K！項，A_i中共有（n*k）！項。所以右邊共有

t.k！.（n-k）！=n！

項。定理得證。

三、求行列式的十種方法

（一）定義法

自接利用行列式的定義進行計算，此方法適用于行列式中有較多零元素的情形。

例1 計算n級行列式

解 此行列式剛好只有n個非零元素a₁₂，a₂₃，…a_n-1，n，a_n1，故

D=（-1）^{τ（23…n1）}a₁₂a₂₃…a_n-1，na_n1=（-1）^n-1n！

（二）數(shù)學(xué)法歸納法

先通過計算一些初始行列式D₁，D₂，D₃等，找出它們的結(jié)果與級數(shù)之間的關(guān)系，用不完全歸納法對D_n的結(jié)果提出猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明其猜想成立。

例2 計算n級行列式

解 易得

D₁=cosθ

由D₁，D₂，D₃的結(jié)果猜想：

D_n=cosnθ.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這一猜想。

當(dāng)時n=1，2，3已驗證猜想成立。

假設(shè)=k-1，n=4猜想成立，將D_k+1的最后一列展開整理得

D_k+1=（-1）^2k+2cosθ.D_k+（-1）^（k+1）+k.1.1.（-1）^k+kD_k-1

=2cosθ.D_k-D_k-1，

由歸納假設(shè)有

D_k-1=cos（k-1）θ，D_k=cnskθ，

從而

D_k+1=cosθ.coskθ-cos（k-1）θ

=2cosθ.cos（kθ）-cos（kθ）-cos（kθ）.cosθ-son（kθ）.sinθ

=cos（kθ）cosθ-sin（kθ）sinθ

=cos（k+1）θ

故猜想對一切自然數(shù)n均成立，從而有

D_n=cosnθ

（三）滾動相消法

當(dāng)行列式兩行的值比較接近時，可采取計相鄰行中的某一行減（或加）上另一行的若于倍，這種方法叫滾動相消法。一般利用此方法后，最好在化簡后的行列式的第一行（列）能產(chǎn)生較多的零，以便再用降級法來做己其特點是各行（列）的元素之和都相同。

例3 計算n級行列式

解 考慮到D的每一行之和為定值1+2+3+…n=n（n+1）/2，故將D的第2列，…，第n列依次加到第1列，則

（四）化三角行列式法

利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為上（或下）三角形行列式，使其形變值不變，于是原行列式值等于此上（或下）三角形行列式的主對角線的元素之積。

例4計算n級行列式

解 將第一行的-1悟加到其余各行，得

（五）折項法

把一個行列式拆成若干個行列式的和，拆開以后的行列式有規(guī)律可循，并且容易計算。

例5 計算n級行列式

解 將D_n按第列拆成兩行列式之和，其中

λ=c+（λ-c），得

由例3的結(jié)果得

D_n=c[x-b+（n-2）（a-b）]（x-b-a+b）^n-2+（λ-c）[x+（n-2）a]（x-a）^n-2

=（x-a）^n-2[λx+λ（n-2）a-（n-1）bc]

（六）加邊法

把、階行列式適當(dāng)?shù)奶砑觤行m列（m≥1），使得到的n+m階行列式與原行列式相等，而且升階后的行列式易于計算，進而求出原n階行列式。這種方法叫作升階法，又叫作加邊法。

例6 計算n級行列

解 把原式提升為n+1階行列式

（七）拉普拉斯展開法

運用公式|D|=M₁A₁+M₂A₂+…+M_tA_t來計算。其中M₁，M₂，…，M_t為D中取定k行后得到的子式，A₁，A₂，…，A_t分別為它的代數(shù)余子式。

例7 計算n級行列式

解 取第1，3，…，2n-1行，第1，3，…，2n-1列展開得

（八）遞推法

該方法是將計算行列式的問題變形為求數(shù)列通項公式的問題。

例8計算n級行列式

解當(dāng)n≥3時，按第一行展開得

D_n=（1-a）D_n-1+aD_n-2，

于是

從而

又容易驗證，此結(jié)果對n=1，2也成立。

（九）換元法

用同一個元素x加到n級行列式D中每一個元素上得到一個新的n級行列式D，那么

其中A_ij是D中元a_j的代數(shù)余子式。

一般地，用x₁，x₂，…，x_n分別加到n級行列式D中第1，2，…，n列的每一個元素上得到一個新的n級行列式D，那么

其中A_ij是D中元素a_ij的代數(shù)余子式。

換元法就是利用（1）（2）兩式，進行計算行列式的方法。

例9 計算n級行列式

中每個元素加上x所得，因此

（十）冪級數(shù)變換法

把一類行列式轉(zhuǎn)化為差分方程，再利用冪級數(shù)變換求解差分方程，即可求出行列式值。

例10 計算n級行列式

解n≥2時，按第一列展開得

D_n=D_n-1+D_n-2

該行列式序列D₁，D₂，D₃，…，是斐波那契數(shù)列，開始項為1，2，以后各項均為前兩項之和，上式變形為

D_n-D_n-1-D_n-2=0（n=3，4，5，…）

設(shè)F（x）是{D_n}的生成函數(shù)

F（x）=D₁x+D₂x²+D₃x³+…+D_nxⁿ+…（1）

用（-x）剩（1）式得

-xF（x）=-D₁x²-D₂x³-D₃x⁴-…-D_nxⁿ⁺¹-…

（2）

用（-x²）乘（1）試得

-x²F（x）=-D₁x³-D₂x⁴-D₃x₅-…D_nxⁿ⁺²-…

將（1）（2）（3）式相加得（3）

F（x）（1-x-x²）=D₁x+（D₂-D₁）x²+（D₃--D₂-D₁）x³+…+（D_n-D_n-1-D_n-2）xⁿ+…

由于D_n-D_n-1-D_n-2=0（n=3，4，5），且D₁=1，

方程1-x-x²=0的兩個根為

比較（1）式和（4）式得系數(shù)

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