企業(yè)利潤數(shù)學模型的建立與分析

王子龍

摘 要 利潤是企業(yè)可持續(xù)發(fā)展的基石，如何用最小的成本獲得更多的利潤是股東繼續(xù)經(jīng)營企業(yè)的根本。本文以企業(yè)利潤最大化為目標，通過對其進行數(shù)學模型的建立及相應的方法分析，并以某企業(yè)往年利潤數(shù)據(jù)為例，進行企業(yè)過程數(shù)據(jù)分析，為將數(shù)學模型分析方法應用于企業(yè)經(jīng)營等日常經(jīng)濟管理提供思路。

關鍵詞 利潤 數(shù)學模型 數(shù)據(jù)分析 最值

一、引言

隨著社會生產的專業(yè)化與規(guī)模化發(fā)展，在社會資源有限的情況下，人力成本越來越高、環(huán)保壓力越來越大，造成企業(yè)的生產壓力不斷增大，利潤空間也餓越來越小。很多情況下，企業(yè)會通過升級技術裝備、減少用工成本，進而提高實際盈利能力，但是裝備設施的升級成本也很高，很多企業(yè)無法承受，這就給許多企業(yè)帶來困擾，甚至由于經(jīng)營不善最終導致破產。近些年隨著一些先進管理理念的引進，企業(yè)家們開始不斷嘗試采用基于數(shù)學分析的方法，為企業(yè)經(jīng)營提供新的思路與方法。

基于數(shù)學分析的管理方法主要是借助數(shù)學模型對企業(yè)全過程進行精密管理，通過對實際經(jīng)營過程的不斷分析優(yōu)化，為企業(yè)生產節(jié)約資源，減少不必要的成本支出，給企業(yè)帶來新的利潤空間。本文主要結合數(shù)學建模方法，闡述了經(jīng)濟分析中的典型數(shù)學工具，并以某工廠的利潤進行了應用分析，為企業(yè)經(jīng)營發(fā)展提供新的方向與基礎。

二、經(jīng)濟分析中的數(shù)學工具

（一）數(shù)學模型

數(shù)學模型從概念上說，是借助數(shù)理邏輯與數(shù)學語言建立的一種描述對象的某種特性所呈現(xiàn)的關系表達式。從廣義上來理解，數(shù)學模型是由數(shù)學中的相關概念、公式與理論所組成，建立數(shù)學模型就是要對現(xiàn)實物理世界進行抽象描述，從某種意義上來說，整個數(shù)學基礎可以看成是一門有關建立數(shù)學模型，并進行數(shù)學分析的科學。從狹義上來理解，數(shù)學模型是指描述那些特定問題或特定事物及系統(tǒng)的數(shù)學關系式，這也可理解為是對一個系統(tǒng)內各變量間關系的一種數(shù)學表達方式。

數(shù)學模型的應用歷史可以追溯到早期使用數(shù)字的時代，隨著人類采用數(shù)字來進行簡單的計數(shù)到現(xiàn)在進入數(shù)字化時代，就開始不斷地采用并建立各種對象的數(shù)學模型，以解決日常生產生活中的各種現(xiàn)實問題。如很多科技工作者主要工作就是對特定對象進行特性研究、教師借助數(shù)據(jù)對學生進行綜合評價分析、企業(yè)對生產過程與采購過程數(shù)據(jù)進行分析等，其本質都是基于特定數(shù)學模型，借助數(shù)學方法進行內在規(guī)律的分析與挖掘。

（二）數(shù)學建模與數(shù)學分析方法

數(shù)學模型是對真實物理世界的一種描述表達方式，因此在實際數(shù)學建模過程中必須要求符合客觀物理規(guī)律，才能為后續(xù)的數(shù)學分析提供有力的模型基礎，確保得到精確可靠的分析結果。主要體現(xiàn)在以下三方面：

第一：要求數(shù)學建模的真實完整性。真實完整性是要求所建立的數(shù)學模型是真實的、系統(tǒng)的、完整的，且要與實際情況相符合。

第二：要求數(shù)學建模的簡明實用性。是指在實際建模過程中，盡量地保留系統(tǒng)本質問題及內在關系，對于非本質的、次要的、對反映客觀真實程度影響不大的要素可以進行舍去，這樣在保證模型精度的基礎之上，實現(xiàn)模型簡單化和易操作性，同時也需要兼顧數(shù)據(jù)的可采集性。

第三：要求數(shù)學建模具有適應性。是指隨著外部環(huán)境和人們理解事物能力的變化，只要通過對之前所建立模型中的相關變量及參數(shù)進行調整，確保調整后的模型具有很好的適應性。

在模型的基礎之上，要想得到可靠的分析結果，良好的數(shù)學分析方法是十分關鍵的。對經(jīng)濟領域的問題分析，往往最終都轉化為求解模型的最值極值問題。

因此可以說，數(shù)學模型是解決實際問題的基礎，而數(shù)學分析方法是解決實際問題的有力工具，兩者之間具有相互關聯(lián)，且密不可分的關系。

三、某工廠利潤的數(shù)學分析

（一）企業(yè)利潤最大化原則

總所周知，企業(yè)生產的目的是生產銷售商品，進而獲得實際利潤，為了衡量企業(yè)的生存擴張能力，其利潤率水平是一個十分關鍵的指標。在實際企業(yè)運營過程中，企業(yè)家們總是追求利潤的最大化。

企業(yè)利潤最大化原則[4]是指產量的邊際收益要等于邊際成本，邊際收益是指生產商品過程中最后增加單位產量所增加的實際收益，而邊際成本是指生產商品過程中最后增加單位產量所需要的實際支出。可見，如果最后增加單位產品生產時，其邊際收益大于邊際成本，則企業(yè)便會繼續(xù)生產，進而實現(xiàn)利潤最大化，否則企業(yè)便會停止生產。從數(shù)學的最大值原理可以知道，當邊際收益與邊際成本相等時，企業(yè)的總利潤最大，可見這是企業(yè)利潤最大化的條件，適合所有的市場結構模型。

（二）某工廠過程數(shù)據(jù)分析

現(xiàn)在以工廠生產兩種產品為例進行過程數(shù)據(jù)分析。某工廠在計劃期內要安排生產甲、乙兩種產品，已知生產單位產品所需要的設備臺時和兩種原材料的消耗以及資源的限制情況，如表1所示。

其中該工廠每生產一單位產品A可獲利50元，每生產一單位B產品可獲利100元，因此工廠就會考慮如何生產產品A和B才能實現(xiàn)利潤率最大。

該問題已經(jīng)不是生產技術問題，而是生產管理問題，為了解決這個實際生產管理問題，其解決的方法是采用數(shù)學模型與數(shù)學分析的工具。因此需要按照文章第2部分所描述的過程進行分析。

首先，確定決策變量。工廠目前要決策的是產品A和產品B的生產量，可以用變量X1和X2來表示，即：決策變量X1表示生產產品A的數(shù)量；決策變量B表示生產產品X2的數(shù)量。由于它們表示產品產量，所以只取非負數(shù)。

其次，根據(jù)問題的限制條件，列出表示條件的線性不等式。對于臺時數(shù)方面的限制可以表示為x1+x2≤300，原材料的限量可以表示為2x1+x2≤400和x2≤250。除了上述約束外，顯然還有x1≥0，x2≥0。

最后，根據(jù)實際問題所追求的目標，列出其線性表函數(shù)式。則總利潤可表示為Z=50x1+100x2。

綜上所述，得到了描述該問題的一組數(shù)學表達式：

目標函數(shù)為：Max z=50x1+100x2 （1）

約束條件為：

由式（1）（2）所建立的數(shù)學描述即是對該工廠生產A/B兩種產品的數(shù)學模型，因此只要對其進行數(shù)學分析即可得到科學合理的決策依據(jù)。

（三）某工廠數(shù)據(jù)分析結果

3.2節(jié)所描述的數(shù)學模型中，目標函數(shù)為變量的線性函數(shù)，約束條件也為變量的線性等式或不等式，故此模型稱之為線性規(guī)劃。如果目標函數(shù)是變量的非線性函數(shù)，或約束條件中含有變量非線性的等式或不等式的數(shù)學模型則稱之為非線性規(guī)劃。把滿足所有約束條件的解稱為該線性規(guī)劃的可行解。把使得目標函數(shù)值最大（即利潤最大）的可行解稱為該線性規(guī)劃的最優(yōu)解，此目標函數(shù)值稱為最優(yōu)目標函數(shù)值，簡稱最優(yōu)值。

結合高中所學的線性規(guī)劃方法，可以根據(jù)線性約束條件采用圖解進行分析，如圖1所示。

從圖1就得到了問題的最優(yōu)解為B點，B點的坐標為（50，250），因此最佳決策為X1=50，X2=250，此時Z=27500這說明該廠的最優(yōu)生產計劃方案是生產A產品50單位，生產B產品250單位，可得最大利潤27500元。

因此，當生產50單位A產品，250單位B產品才能使工廠獲得最大利潤，同樣，在該工廠其他方面的銷售或成本方面的問題也可以采用此類方法進行優(yōu)化與解決。當然，數(shù)據(jù)的分析必須精準嚴密。相信依據(jù)對數(shù)學模型的合理應用加上對實際生活中的需求了解，該工廠在未來的發(fā)展道路上能把利潤最大化并越走越遠。

四、結語

數(shù)學不僅是工程技術的基礎，也是企業(yè)經(jīng)營管理和國民經(jīng)濟分析的基礎。本文通過對經(jīng)濟分析中數(shù)學模型的建立與數(shù)學分析方法的闡述，來探討經(jīng)濟中的數(shù)學問題，并通過實例闡述企業(yè)利潤最優(yōu)問題的求解。通過從原理到實例的論述，為企業(yè)經(jīng)營和社會經(jīng)濟中的優(yōu)化問題采用數(shù)學方法得到解決提供了新思路與新方法，不僅如此，當前大數(shù)據(jù)技術在經(jīng)濟中的分析也正在如火如荼開展，相信在數(shù)學工具的幫助下，人們將會越來越多地通過數(shù)據(jù)挖掘內在的規(guī)律，為人們進一步深入掌握經(jīng)濟運行規(guī)律提供有力技術基礎。

參考文獻：

[1] 李銀魁，許雁琴.優(yōu)化商品經(jīng)營利潤的數(shù)學模型[J].河南機電高等專科學校學報，2005，13（4）：86-88.

[2] 楊湘豫.淺談盈虧分析數(shù)學模型[J].財經(jīng)理論與實踐，1995（4）：65-66.

[3] 俞新龍.商品促銷中的數(shù)學模型兩例[J].中學生數(shù)學，2005（15）：22-22.

[4] 郝芳，王淑英.數(shù)學模型在經(jīng)濟產業(yè)中的應用[J].經(jīng)濟研究導刊，2016（17）：48-49.

[5] 周波.經(jīng)濟效益最優(yōu)化數(shù)學模型的建立與應用[J].內江科技，2009，30（11）：126-126.