旋轉體內切球問題與等體積法

衛鋒 付瑞

【摘要】高中階段接觸的簡單空間幾何體主要包括多面體與旋轉體，眾所周知，等體積法V=13Sr是處理多面體內切球問題的重要方法.而同時，等體積法也可用于處理某些旋轉體的內切球問題.本文詳細介紹了圓柱、圓錐這兩種轉體的內切球問題.

【關鍵詞】旋轉體；內切球；等體積法問題

《教學研究》2015第23期刊登的《探究多面體的體積、表面積及內切球半徑之間的關系》一文已有探討，本文不再贅述.下面本文探討使用等體積法求解一些特殊旋轉體的內切球問題.

以圓柱為例，若圓柱存在內切球，記其體積、表面積、內切球半徑分別為V，S，r.考慮一正n棱柱使該圓柱為其內切圓，即此正n棱柱的上下底面所在平面與圓柱的上下底面所在平面重合，此正n棱柱的側面與圓柱的側面相切，如圖1所示，容易知道此時圓柱的內切球也正是該正n棱柱的內切球.正n棱柱為多面體，故對該正n棱柱而言，其表面積Sn、體積Vn及內切球半徑r滿足Vn=13Snr.當n→+∞時，Sn→S，Vn→V，從而V=13Sr成立，故可利用等體積法Vn=13Snr處理圓柱的內切球問題.

對圓錐而言，其體積、表面積、內切球半徑分別為V，S，r也符合等體積法V=13Sr.構造一正n棱錐使圓錐為其內切圓錐，即正n棱錐與圓錐共頂點，且圓錐的底面圓為正n棱錐底面正n邊形的內切圓，如圖2所示.易知圓錐的內切球即為所構造正n棱錐的內切球.由于正n棱錐的內切球問題符合等體積法Vn=13Snr，當n→+∞時，易知圓錐的內切球問題也符合等體積法V=13Sr.

對圓臺而言，構造一正n棱臺使圓臺為其內切圓臺，即正n棱臺的上下底面所在平面與圓臺的上下底面所在平面重合，且圓臺的上、下底面圓為正n棱臺上、下底面變形的內切圓，如圖3所示，利用極限的思想同理可知圓臺的內切球問題也符合等體積法V=13Sr.

以上說明了圓柱、圓錐、圓臺這三種基本的旋轉體的內切球問題都符合等體積法V=13Sr的結論，說明其成立的方法是利用共內切球的多面體無限逼近旋轉體，體現了極限的思想，這種思路與我國古代數學家劉徽“割圓術”探索圓周率有異曲同工之妙，不禁讓人感嘆數學之美妙.

很容易有一個疑問，等體積法V=13Sr求內切球半徑是否對所有旋轉體都適用呢？如果不是，適用于哪些旋轉體呢？這些旋轉體有何共同特點？

圖4

等體積法V=13Sr求內切球半徑并非適用于所有旋轉體，例如，球缺的內切球，用代數方法容易驗證其不符合等體積法V=13Sr，此處略去不表.對比圓柱、圓錐、圓臺等旋轉體用共內切球的多面體無限逼近的思路加以思考，再考慮到球缺上有且僅有其內切球的兩個切點，顯然球缺無法用共內切球的多面體無限逼近，從而無法保證等體積法V=13Sr成立.

最終可得如下結論：若旋轉體有內切球，且該旋轉體可用共內切球的多面體無限逼近，則此旋轉體表面積S、體積V及內切球半徑r滿足等體積法V=13Sr.旋轉體可用共內切球的多面體無限逼近的一個必要條件是該旋轉體上有其內切球的無窮多個切點.

本文結論在旋轉體內切球問題中有重要應用，例如，《數學教學研究》2004年第6期（總第142期）刊登的《體積與表面積等值的旋轉體與內切球》一文主要提及四條定理：（1）若旋轉體的體積與表面積等值，則其內切球半徑必為3；（2）若旋轉體的體積與表面積等值，則其內切球體積與表面積也等值；（3）若旋轉體內切球的半徑為3，則該旋轉體的體積與表面積等值；（4）若旋轉體內切球的體積與表面積等值，則該旋轉體的體積與表面積也等值.由本文結論可知上述四條定理顯然成立.

【參考文獻】

[1]沈杰.體積與表面積等值的旋轉體與內切球[J].數學教學研究，2004（6）：43-44.

[2]向君.探究多面體的體積、表面積及內切球半徑之間的關系[J].教學研究，2015（23）：24.