保持象變換、保持核變換的充分必要條件

李春麗

摘要：象與核是線性變換的重要體現.本文在高等代數的基礎上討論了n維線性空間上的兩個線性變換的象與象，核與核，象與核的關系，通過其特殊性推出一個線性變換的象與核的內在關系.其次，本文還研究了保持象和保持核的線性變換的形式。

關鍵詞：線性變換；線性變換的象與核；保象變換；保核變換

線性變換的體現是其象與核.文中只是淺顯的談到象與核的一些關系，如象與核的維數關系及如何求線性變換的象與核，但不全面和完善.本文通過研究把此問題進一步深入，討論線性變換的象與核的內在關系，及對保象變換與保核變換的形式刻劃.

設A是線性空間V的一個線性變換，L（V）是空間上的線性變換組成的集合，A的全體象組成的集合為A的值域，記為：，也記為.所有被變成零向量的向量組成的集合為A的核，記為：，也記為

保持象變換與保持核變換的形式的刻劃

線性變換的象與核與相應的矩陣相對應.刻劃矩陣間保不變量的線性變換問題稱為“線性保持問題”。

F是數域，V，W是F上的n維線性空間，是V到W的所有線性變換組成的集合構成的線性空間。

1.保持象變換、保持核變換的充分必要條件

定義4[5] 如果T是的一個線性變換，對任意，恒有，稱T是上的保持核的線性變換.

定義5[5] 如果T是的一個線性變換，對任意，恒有，稱T是上的保持象的線性變換.

定理1設F是數域，T是上的一個線性變換，那么T是保持核子空間的充分必要條件是：存在W的可逆線性變換h，使得.

證明 充分性.存在V的可逆線性變換，使得

，令，則有，

由推論有設L（V）是空間上的線性變換組成的集合，，則下列3個命題是等價的：

（1）；

（2）存在V的線性變換C，使得CA = B；

（3）變換方程XA=B在L（V ）中有解.

即.

故T是上保持核的子空間.

必要性.設，同理由推論1.12有，

存在可逆變換h，使得.

定理2.設F是數域，T是上的一個線性變換，那么是T保持象子空間的充分必要條件是：存在V的可逆線性變換h，使得.

此定理的證明應用推論1.2.2，類似于定理2.1可以證明.

推論1.1.1 設F是數域，T是上的一個線性變換，那T么是保持象子空間且保持核子空間的充分必要條件是：存在F中的非零數a，使得.

證明 充分性. a是F中的非零數，

則定義F中的數a與線性變換f的數量乘法為

，其中是單位變換，則是可逆的，有，

故，.

必要性.設，，

則存在可逆變換A，使得

，

即，則A一定是數量變換，

有，故.

2.線性變換的冪等秩變換保持象不變，保持核不變

引理[4] 設A是數域P上的線性空間V的一個線性變換，A是A下的矩陣，當rank=rank 時，有， ，t≥1.

證明 由rank=rank，有

= rank=rank，

而，即，

所以.

又，

而 ，所以 .

定理1.3 設A是數域P上的線性空間V的一個線性變換，則有 .

證明，則

，，

則，即 .

，

則，即.

依此類推，.

定理1.4設A是數域P上的線性空間V的一個線性變換，A是A下的矩陣，則rank=rank.

證明 若 ，則結論顯然成立.

若 ，則n>rank≥rank≥……≥rank≥ rank≥0.

因為小于n的非負整數只有n個，所以上述的不等式中，必有兩項是相等的.不妨設

rank=rank=……= rank，1≤k

因為rank=rank，所以齊次線性方程組X=0與X=0同解.

由此可得X=0與X=0同解，進而有

rank=rank.

事實上，X=0的解都是X=0的解.

反之，設為X=0的任意解，則有

（A）=0，即A為X=0的解.

則有 A 亦為X=0的解，即=0，

因此rank=rank.

由數學歸納法可得：rank=rank=……= rank

因為k

由引理和定理1.4可得出結論.當一個線性變換的n次冪后，它們的矩陣的秩保持不變，即rank=rank，則有，