數學思想在中考數學題中的應用

摘要：作為數學的靈魂，數學思想是一切數學知識的精髓所在，是學生將所學數學知識轉化為解題能力的重要媒介，尤其是近年來的中考數學題高度重視考查學生的數學思想掌握情況，強化數學思想教學指導與應用具有重要意義。本文先對數學思想及其應用價值進行了分析，然后結合例題，重點對常見的數學思想及其在中考數學試題中的具體應用進行了探討，希望能有效提升初中生的數學解題能力。

關鍵詞：數學思想? ?中考? ?數學? ?解題能力

在新課改實施日益深入的背景下，新課標對初中數學教學提出了越來越高要求，其中最為顯著的一個變化就是要促使學生從知識被動接受向能力提升方向轉變，同時中考數學試卷中重點考察學生數學解題能力的試題也越來越多。數學思想則是一切數學知識的精髓所在，也是提升學生解題能力的重要保障，所以數學教師需要高度重視數學思想在解題教學中的滲透，深化學生對于數學思想的理解和認識，不斷提升其解題能力。

一、數形結合思想及其應用

我國著名數學家華羅庚先生曾在探討數與形關系的時候說：“數缺形時少直說，形少數時難入微。”只有數與形相互結合，才能夠“萬事休”，這充分凸顯了數形結合思想的重要性。通過數形結合思想的合理運用，可以將某些繁雜、抽象的數量關系，以形象、直觀的幾何圖形來進行直接展現，也可以將某些圖像的性質等，以數量關系加以體現，從而可以起到化繁為簡，化抽象為具體，提高解題能力的有效性。因此，在實際的中考數學題求解中，對于幾何問題的求解，可以嘗試運用代數方法，或者對于代數問題的求解，可以嘗試運用幾何方法。

例1：已知某函數圖象如圖1所示，試求當y>0時，x的取值范圍___。

解析：由圖1可知，在y>0時，相應的函數圖象應該處于x軸的上方，這樣就可以直觀地確定出本道題的正確答案為，x<-1或1<x<2。

例2：已知A點坐標為（2，2），假如P位于坐標軸上，且△APO為等腰三角形，那么可知點P的坐標，肯定不是（? ? ?）。

A.（2，0）? ? ?B.（4，0）? ? ?C.（0，2）? ? ?D.（3，0）

解析：通過對該題干信息進行閱讀，涉及到比較多的抽象參數，學生理解起來可能難度比較大，這時候如果可以靈活地應用數形結合思想，將題干文本信息轉化成圖2所示的圖形，那么可以直觀地觀察到選項A、選項B和選項C均符合題干要求，但是選項D不符合相應要求，所以該道題的正確答案為D。

例3：如圖3，將一個裝有部分水的圓柱形小玻璃杯擱置于一個空的大圓柱形玻璃杯中，現在通過某注水管沿著大玻璃杯的內壁向其中進行勻速注水，那么可以求出該小玻璃杯內水面高度h（cm）和注水時間t（min）之間所構成的函數圖像近似于如下哪一種（? ? ? ?）。

解析：通過對題干信息進行詳細審讀，可知最初的小玻璃杯中在沒有注水前就已經有一定量的水，所以其最初的高度必然大于0，所以可知本道題目中的選項A和選項D是錯誤的。在用注水管進行持續注水的過程中，水會在最初一段時間內先填充大玻璃杯底部，不會流入到小燒杯中，所以這段時間內小燒杯中水的高度不會發生變化，待小玻璃杯和大玻璃杯中水面保持一致后，水就可以流向小玻璃杯，這時候其高度會逐漸增加，待浸沒小燒杯后，其水面高度h不會繼續發生變化，由此可以清楚地得出該道題的正確答案為B。

例4，如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，CD是△ABC斜邊上的高，現有一點E位置于AB上，過E點作一條直線，其同△ABC直角邊相較于F點，其中AE=x，△AEF的面積y。假定AB⊥EF，試求在AB上移動的時候，函數y和x的函數關系？在x取值為何時，y值取得最大值？

解析：該道題是數形結合思想應用的一個典型題，借助幾何圖形方面的知識來求解代數函數問題，那么可以快速達到求解的目的。首先，要根據題干信息以及三角形面積求解公式，求得函數y和x之間構成的函數關系式為y=1/2*x*EF，然后在求解EF的長度，結合AE（x）和AD之間的長短關系，當0<x<AD時，△ADC和△BEF二者呈現為相似的關系;當AD≤x≤AB時，結合EF長度可以求出△BEF的面積。在這兩種情況下，可以分別求出對應二次函數何時取得最大值以及最大值是多少，之后通過對比分析這兩個最大值即可找出該道題的正確答案。在該道題目求解過程中，借助幾何圖形中三角形、線段和相似等相關知識，對面積和線段之間函數關系進行仔細思考，那么可以將二次函數方面的代數知識形象化、具體化，這樣可以顯著打破學生求解數學問題的常規思維束縛，有效結合幾何知識和代數知識來提升學生求解能力。

二、方程思想及其應用

方程式初中數學教學的重要內容，也是學生學習的重難點。如果初中生可以熟練地掌握和應用方程思想，那么對于提升學生的數學解題能力具有重要意義。方程思想本質上就是基于問題數量關系入手，通過科學、合理地設定未知數，有效地結合未知量和已知量之間的數量關系來構成求解問題的方程組，這樣就可以有效地運用方程思想來解決數學問題。在實際的中考數學題中，對于方程思想的考查，主要側重于如下兩個方面，除了通過列方程組來求解數學應用題外，還可以借助方程來對幾何問題或代數問題進行求解。

例8：如圖7，該反比例函數圖象經過A、B兩點，且已知A點坐標為（1，3），B點的縱坐標為1，C點坐標為（2，0），試求：（1）該反比例函數的解析式？（2）直線BC的解析式？

解析：該道題給出了函數圖象，并給出了其中幾個關鍵點的坐標，所以需要結合這些關鍵點滿足待求函數關系式，將B點代入到反比例函數中來得出一個函數關系式。而對于直線函數關系式的求解，則可以通過將點B和點C兩點代入到一次函數解析式中，借助方程組求解來求得函數解析式，借此來達到求解該道題的目的。

解：（1）假定待求反比例函數解析式為：y=k/x（k≠0），因為點A位于反比例函數圖象上，所以可知3=k/1，求得k=3，所以待求反比例函數解析式為y=3/x。

（2）假定待求直線BC的解析式為：y=ax+b（a≠0），因為點B位于反比例函數圖象上，可以通過將B點縱坐標代入解析式求得其橫坐標為3，之后再將B點坐標帶入到直線BC解析式中，可得1=3a+b，0=2a+b，聯立可得a=1，b=-2，所以待求直線BC的解析式為y=x-2。

三、整體思想及其應用

在對某些數學問題進行求解期間，往往不是以某個部分作為著眼點來進行求解，而使放大考查問題的視角，將待求解的問題看做成一個整體。通過對研究問題的整體結構、形式或作整體處理后，可以快速、便捷地找到解題突破口，最終達到求解相應問題，這就是所謂的整體思想。

例9：如圖8，在天平上面擱置有正方體、圓柱和球體，可以保持天平保持平衡狀態，那么由此可知同2個球體質量等同于幾個正方體的總質量？

解析：如果通過直接觀察，那么學生很難求得該道題的正確答案，但是如果可以先假定正方體、圓柱和球體的質量，那么就可以更好地明確它們之間的質量關系。比如，可以假定球體、圓柱和正方體三者的質量分別為x、y和z，那么根據圖8所示的天平，可以列出①2x=5y和②2z=2y這兩個求解方程，之后通過①*2-②*5得到4x-10z=0，即2x=5z，所以可知2個球體質量等同于5個正方體的個數。

除了上述常用數學思想外，函數思想、建模思想、轉化思想等也是中考數學題求解中常用的數學思想。比如，函數思想主要是用變化和聯系的觀點來對數學對象間的數量關系進行揭示或看待，具體就是利用函數的概念、性質以及圖像等相關知識去構建解決問題的專門函數模型。比如，可以運用函數的最大值、最小值、周期性、奇偶性以及單調性等性質來解決有關數學問題。

總之，數學思想是數學知識的精髓所在，其掌握情況直接關乎初中生解題能力的高低。在實際的教學中，數學教師需要高度重視數學思想滲透，同時平時的解題教學中要注意結合具體中考數學題目，為學生講解方程思想、整體思想、數形結合思想等數學思想的具體應用，確保學生可以靈活應用數學思想來解決數學問題。

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（作者簡介：姜丹，本科，單位：黑龍江省鶴崗市私立新北方學校初中部，數學教師，班主任，研究方向：數學教學。）