初中數學開放性習題類型及解題技巧

聞春華

摘 要：開放性習題在初中數學教學中的引入是為了培養學生的數學素養和邏輯思維能力，激發學生學習數學的興趣，提高數學教學的效率及學生的學習質量。而開放性習題的類型有很多種，常見的有條件開放性、結論開放性、策略開放性、綜合開放性等等。對初中數學中存在的幾種開放性習題類型進行分析，并提出相應的解題技巧，進而有效推進初中數學教學的改革。

關鍵詞：開放性習題；解題技巧；分類討論

一、初中數學開放性習題的特點以及作用

（一）開放性習題的特點

什么是數學開放題？對于數學開放題目前還沒有一個統一的定義，但是可以總結一些開放性習題的特點，比如答案不固定、條件不完整、條件多余、條件不足、多種答案、多種解法等等，在初中數學教學中，出現了獨特設計、個性開放的題目，與傳統中規中矩的題目不同，開放性習題構思獨特，能夠培養學生的創新能力，在數學教學中最富有研究價值，是應試教育向素質教育轉變的重要體現。同時，開放性習題還具有內容新穎、條件與結論不定、解題思路靈活的特點，與學生的實際生活貼近。形式也多種多樣，具有可塑性，探索結論、解法，充分體現出了現代化的教學氣息。還有一個明顯的特征就是答案不是唯一的，需要通過多種思維觀察題目，對題目進行想象、歸納、類比，挖掘多種解題方式，創新性的解題方式能夠滿足現代人才發展競爭要求。

（二）開放性習題的作用

1.對學生的教育作用

有利于培養學生的思維，讓學生打破原有的思維模式，通過聯想與想象的方式多角度進行思考，有助于學生創造能力以及思維模式的形成。開放性習題的不確定性是教師研究的主要問題，通過師生交流的形式將開放性習題融入課堂中，激發學生獨立思考的能力，讓學生能夠構建知識形成的過程，培養學生靈活的思維能力以及創造能力。有利于激發學生的學習興趣，通過合作的形式完成學習與競爭，讓學生暢所欲言，通過實踐的形式進行解題，在輕松愉快的氛圍中學習，能夠激發學生學習的動力，從而對學習產生濃厚的興趣。有利于強化學生的創新意識，因為開放性習題的答案與模式不固定，學生需要調動所有的知識，用多種思維模式對問題進行探索，強化學生的創新意識與探究能力。

2.對教師的教學作用

轉變教師的觀念與角色，用動態式、開放式的教學理解數學知識，以學生作為教育的中心，而不僅僅是一個知識的傳授者，對教學的內容進行設計，做課程的組織者與設計者，從而大大提高教學效果。

二、初中數學開放性習題類型

（一）結論開放性

結論開放性就是在既定的條件下探索對象是否真實存在，分為結論存在與不存在兩種情況，解題的方法為如果結論存在，通過演繹推理的方式得出結論，從而做出準確的判斷。

比如，已知⊙O的半徑為5cm，弦AB//CD且AB=6cm，CD=8cm，求出弦AB與CD之間的距離。

由于題目設定的條件僅僅只有弦AB//CD，并沒有指出它們與圓心O的位置關系，因此需要根據多圖性畫出兩種不同的圖形，如圖1和圖2所示，由圖1可以求出AB與CD之間的距離為1cm；

（二）條件開放性

條件開放性題型，從結論出發，與圖形相結合，考慮問題需要具備的條件，然后進行逆向思維挖掘，逐步找出解決問題的方法，這類題型考查最多的是對命題或結論的判斷，重點強調題設條件的多樣化。比如，在平行四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形。解答過程為：因為AB=DC，AD=BC，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形定理，得出四邊形ABCD是平行四邊形。又因為有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可以添加條件∠A=90°，或者根據對角線相等的平行四邊形是矩形，添加AC=BD，這些都是符合題意的。

（三）策略開放性

在初中數學教學中策略開放性的數學題目，是指解題中所需要的條件是解題的依據和方法。計算： + + + + ，學生會出現以下幾種解決方式。

（1）直接通分，相加后再約分；

（2）原式=（ + + + + ）×60× = ；

（3）原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）=1- = 。

方法（1）屬于常規性解題方法；方法（2）屬于一種化歸思想，但是也不簡單；方法（3）轉化為一些互為相反數的和進行計算，方式新穎，簡單。那么解決這種問題需要采取一定的解題策略進行計算思考，總結一定的規律，教師可以進行策略性的指導，為學生在解題過程中建立一定的思維模式和知識體系。

（四）條件和結論同時開放性

條件和結論同時開放性習題，這類題型的主要特征就是條件和結論都沒有給出，需要學生在應用題中將已有的信息通過合理分析推理，發現其中規律并進行結論總結。比如，在下列四個條件中，以其中兩個作為已知條件，第三個作為結論，推理出一個準確的命題。如圖3所示，（1）AE=AD；（2）AB=AC；（3）OB=OC；（4）∠B=∠C，條件與結論均為開放性的試題，要求自行組建命題，掌握三角形的全等判定條件，得出：（1）已知AE=AD，AB=AC，求證∠B=∠C；（2）已知AB=AC，∠B=∠C，求證AE=AD；（3）已知AE=AD，∠B=∠C，求證AB=AC。

三、開放性習題解題技巧

（一）方程（組）開放題

方程（組）開放題主要以方程和方程組作為知識背景，探索方程（組）的有解的條件和情況，求出參數的值。比如關于x的方程 = 無解，求a的值。解決這類題型時，屬于“存在性”開放題，解題的一般思路為先假設滿足條件的結果存在，其中有一種情況為方程有增根a=2，再根據掌握的知識進行推理，得到（a-1）x=2，原一次方程無解，a≠1，得到結果。由特殊方程轉化到一般方程，尋求題目內在的規律。有時也以實際問題為背景，需數學化后建立數學模型，構建方程（組），然后再用方程（組）解的情況進行分類討論。

（二）函數開放題

以函數知識為解題背景，探索函數解析式中字母系數的關系以及滿足條件點的可能性。比如已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），如圖4所示，求出圖象中所顯示的拋物線的特征，得到二次函數的系數存在的關系與結論。分析（1）a>0；（2）b+2a=0；（3）b2-4ac>0…這類題型屬于典型的圖象信息開放題型，只有認真觀察圖象上給出的數據以及位置特征，靈活運用已知的函數性質，從而找出與條件相關的結論。數形結合是解決此類型重要的思想方法。

（三）幾何開放題

以幾何圖形為背景設置幾何量間的關系，如圖5所示，在半徑為5的⊙中，弦AB=8，P是弦AB所對的優弧上的動點，連接AP，過點A做AP的垂線交射線PB于點C，當△PAB是等腰三角形時，求線段BC的長。這類問題屬于條件探索型問題，△PAB是等腰三角形，可聯想到（1）PA=PB；（2）AP=AB；（3）BA=BP三種思路。解決探索型的開放性習題時，一般的解答方法是執果索因，根據分類討論思想畫出符合條件的圖形，必要時，需根據條件中的提示，畫出輔助線，根據圖形推導出需要增加的條件，為探索結論做準備，對于沒有結論的問題需要進行逆向思維考慮，尋找否定結論的反例以達到解題的目的。

（四）綜合性開放題

綜合性開放題就是將幾何、代數知識結合在一起作為背景，考驗學生的分析能力以及推理能力，綜合運用學過的知識進行解題。這類題型主要有兩大特點，首先是知識點的綜合，在一道題中涉及大量的子知識點，解題時需串聯起知識鏈。其次是代數與幾何的綜合，題中既包含幾何知識，又需要代數的知識。如：如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x，（1）當x為何值時，PQ∥BC？（2）△APQ能否與△CQB相似，若能，求出AP的長，若不能，請說明理由.

這類問題看似是幾何圖形問題，通過分析題意可知，它包含的知識點有動點問題、兩線平行、特殊三角形、相似三角形、方程等。在（2）中，利用圖中不同的等量關系，列出方程，把圖形問題轉化為方程問題來解題。這類綜合性開放題經常出現在中考壓軸題中，它是中考復習的一個重點。解題時，既要關注圖形的特征，又要理解它與方程、函數之間的聯系。解題思想方法上，不能用單一的方法，而是需將數形結合、分類討論等各種思想方法綜合，才能逐步得出結論。

總之，開放性解題實例，對初中數學開放性解題技巧進行總結，從問題中給出的特殊的點、數、線段或者角探索問題，尋找題目中存在的客觀規律，進一步挖掘問題的本質，然后進行總結、概括。利用類比、歸納的解題方法，與相似題目的解題方法進行聯想，通過類比尋找解決問題的途徑。對問題進行分類概括，如果遇到命題的條件與結論無法統一解答時，根據可能出現的情況分類求解，在進行分類解題時不能出現重復和遺漏的情況，有方法地進行分類，最后將得出的結果進行歸納，得到問題答案。通過驗證推理的方法，假設問題中存在對象，根據題意對問題進行構造推導，最后利用題設中的條件進行說明，對得出的結果進行肯定或否定，找到解題方法，得出結果。要想提高學生開放性的解題能力，需要在平時的教學中對學生的思維進行培養，加強學生的數學基礎以及對數學知識的理解，在腦中建立清晰的數學解題思維，為解決開放性試題奠定堅實基礎。

綜上所述，通過筆者對初中數學開放題的研究，積累了一定的解題經驗，并在平時的教學中進行實踐，激勵學生積極主動探索數學認知規律，使數學學習氛圍煥發新的活力，真正實現素質教育，讓不同的學生得到不同的發展。所以開放性習題在數學教學中的出現正是今后學習的重點，教師要充分正視數學教學工作中學生數學素養和邏輯思維能力的培養，努力實現初中數學的教學目標，把教學改革推上一個新的臺階。

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編輯 趙飛飛