初中數學中函數最值問題

張曼

摘 要：通過對函數最值問題幾種解題方法的對比研究，在技巧性很強的函數解題應用過程中如何能透過問題看本質，以提高學生做題效率，激發和拓展學生的邏輯思維能力，彰顯出數學的魅力。

關鍵詞：函數最值;判別式;幾何模型;思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）04-086-1

函數是中學數學中相當重要的一部分，函數的基礎知識在數學和其他許多學科中有著廣泛應用，其中求函數最值問題是一個重點也是一個難點問題，學生在解題時，由于自身數學基本功及數學思維能力所限，常常出現解題思路不清楚，抓不住題目本質，給學生解題帶來困難。因此，現將幾種解決函數最值問題的方法做一總結歸納：

一、配方法

求二次函數最值問題最常用的方法就是配方法，配方法的具體步驟如下：第一步提取系數，如y=ax2+bx+c（a≠0），將二次項系數提出來化為y=a（x2+bax）的形式，第二步將括號內兩項配成完全平方式，即配一次項系數一半的平方。即將二次函數一般式y=ax2+bx+c（a≠0）配成頂點式y=a（x-k）2+h（a≠0）的形式，再根據a的符號和h的值確定函數的最值。

二、判別式法

利用一元二次方程根的判別式的值“非負”或“為負”求解函數最值的方法，稱為判別式法。判別式法是求函數最值問題必須掌握的方法之一，適當使用它可以很巧妙的解決求最值問題，對含有二次函數的分式函數求最值或有些含二次根式函數或其它復合函數也可用此方法。

三、利用函數的增減性

初中學習的主要函數有一次函數y=kx+b（k≠0），反比例函數y=kx（k≠0），二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），利用函數的增減性，注意自變量的取值范圍，結合具體圖象，求出函數最值.

四、分區間討論法

分區間討論法就是根據自變量的取值區間及函數在該區間內的增減性，并結合圖象來確定最值的方法，對于函數y=kx+b（k≠0，m≤x≤M），含絕對值符號函數及函數等，需利用分區間討論法確定它們的最值.

五、構造幾何模型

函數可以看作是數形結合的載體之一，主要依據是平面幾何中有關最短距離有兩個定理：（1）兩點線段;（2）直線外一點到該直線的任一點距離，垂線段長最短。通常我們把幾何問題代數化，通過構造合理的幾何模型較容易解析一些代數問題，充分體現數形結合思想在解題中的重要作用。

六、利用不等式的性質

其中一類題就是當題目已知自變量的取值范圍，求函數最大值或最小值時，可以將函數y與自變量x位置變換，把用含x的式子表示y，轉化成用含y的式子表示x，將問題轉化為解不等式;另一類題利用不等式x+y≥2xy（x>0，y>0），（由（a-b）2≥0，得a2-2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab.令a2=x，b2=y，則x+y≥2xy（x>0，y>0））當x+y定值時，xy有最大值，xy當為定值時，x+y有最小值.合理地運用不等式中的兩個相關相等關系，可以化繁為簡，應用于求函數最值。

以上就是本文總結的六種解決函數最值的常見方法，使學生遇到此類問題能做到心中有數，有的放矢，達到舉一反三，靈活運用的目的。

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