高中數學建模教學：目標定位與路徑選擇

李凱

【摘?要】?數學建模，作為高中新修訂課程標準提出的數學核心素養之一，要求其理念貫穿整個高中數學教育的始終.基于《數學建模教學與評估指南》一書對高中數學建模教學的目標定位與路徑選擇進行重新審視并予以闡釋.旨為有效開展高中數學建模教學及實施新修訂版數學課程標準提供一些參考建議.

【關鍵詞】?高中;數學建模教學;目標定位;路徑選擇

1?問題提出

2017年6月18日，由上海大學出版社出版的《數學建模教學與評估指南》[1]（以下簡稱《數學建模》）在上海市實驗學校首發.首發儀式上，面向中學教師的數學建模教學工作坊同時舉行.該書原著是美國數學及其應用聯合會（COMAP）、美國工業與應用數學學會（SIAM）編寫，中文版由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍聯合編譯.恰逢我國高中數學課程標準修訂版即將頒布.本書旨在為學校加強數學核心素養及數學建模的教與學提供助力.美國數學及其應用聯合會總裁索爾·加芬克爾在中文版序中提到：“本書的目的是為您鋪墊門徑——向您展示如何在每一個年級引入數學建模，讓學生在學習更多數學知識的同時，在更寬的視野中看到數學一系列的重要應用.”首都師范大學王尚志教授在中文版序中指出：“在新修訂的高中數學課程標準中，把數學建模作為數學核心素養，要求數學建模理念貫穿整個高中數學教育的始終.這些舉措將對中國的數學建模教學、數學建模活動產生重大的影響，同時，也將促進數學的教、學和評價的變革”[2].

綜上對該書的推介序言可見，數學建模教學急需一種適合一線教師開展教學的新思想、新引領.該書將每個年齡段的數學建模開展做了一個系統的說明，重申數學建模在學生成長各個階段的連續性與廣泛重要性，并在附錄部分提供了諸多珍貴的可供一線教師作為教學參考的經典案例，旨在學生能通過這個過程，挖掘問題的本質難點并能感受科學的人文關照及數學建模的廣泛性.

2018年頒布的數學課程標準中將數學建模列為六大數學核心素養成分之一[3].課程內容將數學建模活動與數學探究活動作為四條主線之一，可見數學建模成為此次數學課程改革特色與亮點之一，并為數學建模教學向走進課堂提供強有力的文件支撐與操作指引[4].與此同時，課程內容明確要求數學建模與數學探究活動以主題的形式展開教學并規定了相應的學時，具體是必修學時6課時，選修學時4課時.

由此可見，高中數學課程標準已從課程課時、內容、形式等方面作了詳細清晰的具體說明.那么，高中數學建模教學的目標定位是什么？一線師生應當通過怎樣的路徑更為行之有效地實施數學建模？本研究基于新出版《數學建模教學與評估指南》一書的內涵與價值，審視高中階段數學建模教學目標定位與路徑選擇，旨為有效開展高中數學建模教學及實施新修訂版數學課程標準提供一些參考建議.

2?高中數學建模教學：目標定位

教學目標制約教學過程、方法和師生的課堂活動方式.教師在從事教學設計時，首先要使自己的教學目標定位適當，然后盡可能用可以觀察和測量的行為術語清晰地陳述目標.該書中認為高中課程的教學內容，為學生提供了許多適用于數學建模的新工具，如代數、幾何、微積分準備課程以及統計.同時，高中學生的生活經驗和興趣正在迅速擴展，這為他們對各種各樣的現實世界問題的研究打開了大門.依據這一觀點，本文將從以下五個方面對這一觀點進一步闡釋.

2.1?模型可以激勵學生對新技術與新內容的學習

數學建模教學中所涉及的模型在數學上的解釋是：當一個數學結構作為某個形式語言（即包括常數符號、函數符號、謂詞符號的集合）的解釋時，稱為模型[1].數學建模經過演繹、求解以及推斷，通過數學上的分析、預報、決策或控制，再經過演繹和解釋，回到現實世界中，最后，這些推論或結果必須經受實際的檢驗，完成實踐——理論——實踐這一循環，對于高中生而言，創造就是學生在學習某些數學知識后，自己有一些新的發現，獲得對事物認識的新結論.

數學建模為學生提供了自主學習的空間，有助于體驗數學在解決實際生活問題中的價值和作用，增強了學生的應用意識，同時也感受了數學應用價值的學科魅力.因此，通過建模教學中模型的探究可以極大地激勵學生對新內容及技術的學習，同時也為學生適應社會生活及發展奠定扎實的基礎.

2.2?小型建模可以鞏固新概念

通過努力思考能對現實存在的問題做出有意義的解決方案，這是有先行知識的價值之處，在過程中培養了學生的數學建模意識，遇到現實問題能有意識上升到數學問題，試圖用數學語言表達解決問題的過程，對今后系統學習數學建模意義非凡.數學建模的開放性，數學解決過程的曲折性，解決方案的多樣性，促使學生在數學建模的過程中嘗試使用各種方式爭取為團隊貢獻自己的一份力.再此期間，學生根據自己的實際情況集思廣益，創新思維的訓練也是顯而易見，學生對于近期要開展的數學建模任務有自己的規劃.通過這些環節，學生在探索過程中不斷地從新概念學習過程中鞏固對以往知識概念的反復再現.故建模為學生的數學知識進行了一次全面的重新排列再組合.可以說，數學建模是對“溫故而知新”最好的實踐詮釋.

2.3?拓寬學生的數學視野，加深所學課程的關聯性

數學建模是一次微型的科學研究過程，數學建模過程歷經了問題提出、作出假設、數學求解、分析并評估模型和解決方案、迭代以完善和擴展模型、實現模型并報告結果[1].正如課程標準中的要求一樣歷經選題、開題、做題、結題四個環節，數學建模讓學生親身經歷科研的過程，在這個過程中學生獲得了多方面的科研知識，例如獲得了如何檢索文獻資料、如何運用跨學科背景知識等能力.數學知識本來就是一個完整的體系，但由于現實教科書的編寫與實際教學中往往將知識作離散分章節呈現處理，致使學生對于知識整體性的把握與認識明顯不夠，學生更是缺乏從整體出發應用數學知識的意識.而數學建模需要學生從高度把握高中數學知識的相關性，因為任何一個要研究的問題可能會涉及數學領域的相關性知識點，需要學生從整體視角出發考慮問題.

2.4?幫助學生預測與洞察現實世界，提升學生數學水平

數學的價值在于應用，數學建模教學恰恰是將數學的應用發揮到淋漓盡致的地步，數學教科書知識點的枯燥感致使學生對于數學學科逐漸產生厭倦感，學生對于學習數學的目的僅僅停留在完成一道數學題目的求解以及成功應付考試等具有功利性的層面上.由于模型往往需要同時結合代數、幾何和統計學的內容，所以數學建模拓寬了學生的數學視野，并生動地說明了所學課程的關聯性.數學建模教學活動從根本上解決了學生的困惑，數學建模通過解決實際生活的問題，讓數學知識變得活躍起來，激發學生學習數學的濃厚興趣.數學知識在與真實世界建立聯結關系的同時提升了學生的數學整體水平.

2.5?有助于解釋人類發展歷程，汲取跨學科的數學思想和方法

人類歷史的發展是客觀存在的，需要人們運用相關知識予以解釋.例如，考古可以讓歷史較為真實地展現在人們眼前.因此，作為自然科學的數學，更應該肩負起歷史的使命.顯然，數學建模可以充分讓學生感知人類發展歷程，通過對現實生活中的實際問題展開積極思考并探索，不僅可以提升學生的求知欲，更能獲取更多的跨學科領域的知識與技能，數學建模涉及的知識不僅僅停留在數學知識層面，這其中涉及了物理、化學、經濟、人文等學科的知識背景.高中數學課程中的數學建模更側重于非數學領域需用數學工具來解決的問題.如來自日常生活、經濟、工程等學科中的應用數學問題.由此可見，數學建模在解決實際問題中，往往涵蓋著多學科領域知識，需要學生綜合應用知識，這無疑對于學生而言是一種綜合能力的重大提升.

3?高中數學建模教學：路徑選擇

高中數學建模過程是一個復雜的工程.該書中提及學前班至8年級的數學建模，指出五項指導原則：建模是開放且復雜的;當學生建模時，他們必須做出真正的選擇;建模問題可以來自于熟悉的任務;評估的重點在于過程，而不是結果或個別要素;以團隊形式完成建模.當然以上原則對于高中數學建模教學依然是符合的，這里主要對于該書中提及的“如何使標準教科書問題過渡到完整的建模周期？”的五條原則進行闡述.

3.1?從小問題著手

“不動聲色地引入建模問題和活動.從應用題和結構合理的小研究入手，使用引導性的提問，以此直接幫助學生取得進步”[1].

從小問題出發，顧名思義是教師在組織與引導學生開展數學建模教學時，要以符合學生認知水平的問題情境出發，選擇復雜問題中的一個小問題開始作為首要研究的微課題，逐步上升到對復雜問題的探究.當然，選取教材中的應用題或是改編后的習題等是最直接、最有效的途徑，也可以是學生周圍真實存在的情境問題，這能有助于增強學生的探究欲及求知欲.

3.2?用引導性的問題和課堂討論，以此支持初步經驗的形成

“為了幫助學生上手，你可能會以小組討論的形式開始每個問題，在小組初步討論之后，讓全班同學聚在一起繼續討論，這樣使每個人對問題都有一個清晰的認識和一些可行的想法”[1].

教師作為教學活動的組織者與引導者，需要充分調動學生開展活動的興趣點，即以問題為情境導入課堂，引發學生積極且火熱的思考.問題驅動下學生的自主探究型教學過程是推動數學建模教學高效運作的源動力，在學生集體智慧的碰撞升華后得到的結論用以支撐高中學生形成自己的初步經驗.如此一來，啟發與探究便成了高中數學建模教學的主旋律.

3.3?使用普遍的日常經驗來激發數學方法的使用

“數學建模和模擬可以將這些內容帶入學生的生活，并可以在不使用那些正式的、卻會耽誤學習這些內容的方法的情況下，加深對這些內容的理解”[1].

隨著我國數學課程改革進程的不斷深入，從開始重視“雙基”到“四基”再到“核心素養”，我們發現數學學科開始注重學生數學活動經驗的積累，那么作為教學主導者的教師應該為學生積累數學活動經驗創造機會與可能.學生在日常生活及課堂學習中或多或少地積累了初步經驗，這些經驗或許是不太完善、不趨成熟的.因此，這時教師需要在此基礎之上，創設符合或是近似于學生曾經活動經驗“最近發展區”的問題情境，有利于激發學生充分聯想并在經驗的基礎上尋求熟悉的方法去解決實際問題.

3.4?使用小型的建模情境，使得只需一兩個要素便能組成一個完整的建模周期

“建立一個完整的建模周期需要時間和經驗.學生可以通過不斷地處理課堂上的問題和作業中涉及到的小決策，以及建模過程中的小問題，作為日常活動來培養經驗”[1].

數學建模的龐雜性決定了花費時間與精力的持久性.因此作為數學建模的課堂教學畢竟時間有限且學生課外精力受阻，故在平時教學中設計的教學建模情境應該是符合學生現有數學水平與認知發展的簡易模型，在設計基本變量或者假設變量時應當避免一些不可控變量的參與，使得建模要素簡單且可易操作.因此，現階段所做的數學建模研究只是對研究問題的簡單思考，研究的問題仍然有繼續開展研究的價值與意義.

3.5?與家長和管理者分享你的目標和教學實踐

“數學建模提供了一種不同的數學觀，它對什么是‘擅長數學的不同解釋打開了一扇門.建模也給更大范圍的學生提供機會來證明其能力，以及表現其聰明的方式，而這些方式并不總是在數學課堂上被重視”[1].

數學建模的教學價值是長期以來被社會所忽視的問題，作為建模教學過程的參與者教師與學生應當將自己對某一問題的認識予以分享并進行展示，以便讓更多的人了解到你對該問題的關注程度與思考深度.作為教師更應該與家長或是管理者分享匯報自己設計數學建模教學活動的初衷與預期成果，讓人們改變對數學知識“冰冷”的認知，喚醒大眾對數學應用實踐的價值覺悟，彰顯數學建模教學的價值源泉.

4?結語

新修訂的《普通高中數學課程標準（2017年版）》已經頒布，然而，目前我國絕大多數省份未將數學建模列為常規教學.因此，實施高中數學建模需要一個漫長且艱難的過程.本文主要結合該書觀點闡述高中數學建模教學目標定位與路徑選擇，但真正就如何落實高中數學建模常規性教學，教育、考試部門，尤其是一線教師該如何評價學生數學建模水平，如何提升教師建模教學能力和自身建模能力，都亟待相關研究者進一步深入探討與反思.

參考文獻

[1]?梁貫成，賴明治，喬中華，陳艷萍編譯.數學建模教學與評估指南[M].上海：上海大學出版社，2017.

[2]?王尚志.數學建模在中國各學段的發展歷程及展望[J].數學教育學報，2017，26（06）：8.

[3]?呂世虎，王尚志，胡鳳娟等.《2017年普通高中數學學科教學與評價指導意見》解析[J].數學教育學報，2017，26（06）：1-5.

[4]?史寧中.高中數學課程標準修訂中的關鍵問題[J].數學教育學報，2018，27（1）：8-10.