單指令調度下堆垛機平均行程時間研究

王志珍

（西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031）

1 引言

與傳統的倉庫相比，自動化立體庫具有很多優點，如節約了人力成本，加強了庫存控制，提高了空間利用率。但是，自動化立體庫建設成本高，在建設前必須對立體庫進行合理的規劃設計。結合自動化立體庫的作業特點，在設計時需考慮多個關鍵因素，如堆垛機的數量、堆垛機的運行速度（水平和垂直方向）、貨架排布方式等。相關資料表明，堆垛機的相關費用占自動化立體庫建設成本的40%以上。從成本的角度出發，與堆垛機相關的因素在設計時應當優先考慮。

堆垛機的行程時間既能體現堆垛機的性能又能反應出立體庫的布置是否合理，所以它是確定自動化立體庫最優設計和調度的主要因素。在現有的研究成果中，Hausman，Graves和Schwarz[1]假定貨架呈正方形并著重研究了不同存儲作業規則下的單通道的行程時間模型；Bozer和White[2]對Hausman等人的研究成果做了進一步拓展，他們改變了貨架的形狀、輸入/輸出位置，得到了側重點不同的單通道行程時間模型；Hwang和Lee[3]提出了基于堆垛機作業特征的行程時間模型。但是，這些研究都假定了堆垛機的運動狀態是勻速運動的。從實踐的角度來看，基于勻速運動構建的行程時間模型對于優化設計過程意義不大。基于單指令和隨機存儲策略，本文提出了綜合考量堆垛機作業特征的勻加速運動狀態的平均行程時間模型，為自動化立體庫的設計和調度提供參考。

2 運動模式描述

堆垛機在自動化立體庫中的運動包括水平方向和豎直方向的運動。每個方向的運動分別包括兩種運動模式。為了描述這兩種模式，現給出一些符號用以表征運動過程。堆垛機的加/減速度a，在任意時刻t速度為v(t)，最大速度vmax，在時間段t內移動的距離d(t)，達到峰值速度v(tp)需要的時間tp，到達指定目的地需要的總時間T。兩種運動模式最大的區別在于堆垛機的峰值速度是否小于最大速度。

2.1 type1：峰值速度小于最大速度

第一種運動模式如圖1所示，運動的相關表達式為（1）、（2）。

圖1 峰值速度小于最大速度

2.2 type2：峰值速度等于最大速度

第二種運動模式如圖2所示，運動的相關表達式為（3）、（4）。

當tp=T-tp時，堆垛機的峰值速度v(tp)恰好在tp時間點瞬間達到最大速度vmax，只是在(tp,T)時間段內堆垛機并未進行勻速運動，而是進行了與(0,tp)時間段內的運動相對稱的勻減速運動。用l(t)表示堆垛機的上述運動狀態，即堆垛機達到最大速度vmax時需要行走的最短路程。l(t)對于導出行程時間表達式具有重要作用，根據行程時間表達式可以確定該段行程的運動模式。l(t)的相關表達式為公式(5)、（6）。

圖2 峰值速度等于最大速度

3 行程時間分析

為了確定行程時間模型表達式，提出以下假設：（1）貨架為連續的矩形揀選面且I/O點位于最左端；（2）堆垛機基于單指令的調度，每條巷道一臺堆垛機，作業于兩排貨架；（3）堆垛機的規格（水平和豎直方向的最大運行速度、加/減速度）以及貨架的長度、高度已知；（4）接到調度指令時，堆垛機水平和豎直方向上的運動是同時進行的，且水平方向的最大速度不小于豎直方向的最大速度；（5）貨架有足夠的長度和高度從而保證堆垛機從I/O點出發能在水平和豎直方向上達到最大速度；（6）作業方式基于隨機存儲策略，即在貨架的矩形揀選面上所有儲位被選定進行倉儲、揀選作業的概率相等。自動化立體庫的排布方式如圖3所示。

為了進一步刻畫運動狀態，用vx表示堆垛機在水平方向上的最大速度，vy表示豎直方向上的最大速度，a表示加/減速度（運動過程具有對稱性，加減速度數值相等，方向相反），L和H分別表示貨架的長度和高度，l和h分別表示堆垛機達到vx、vy時所需行走的最短長度和高度。

圖3 自動化立體庫排布圖

考慮堆垛機不同運動模式的影響，水平方向的運動模式和豎直方向的運動模式將貨架的矩形揀選面分為了4個區域，如圖4所示。例如，type1,2表示水平方向的運動模式為type1而豎直方向的運動模式為type2。

圖4 倉儲貨架的四個不同區域

此外，以每條巷道的I/O點為坐標原點，用(xk,yk)表示任一貨架儲位（揀選位）k的坐標，其中0≤xk≤L，0≤yk≤H，txk表示堆垛機到達位置k水平方向的行程時間，tyk表示堆垛機豎直方向的行程時間，txk和tyk關于行程的表達式分別記作g(xk)、g(yk)。Tk表示堆垛機從(0,0)到(xk,yk)的行程時間，Tk=Max(txk,tyk)=Max(g(xk),g(yk))。聯立方程(1)、(2)、(3)、(4)并求解得到關于 tx=g(xk)、ty=g(yk)的表達式(7)、(8)。

上述兩組方程(7)、(8)表征的是水平和豎直方向上基于路程變量s的時間關系t(s)，因兩組方程相似，做出可以代表水平方向和豎直方向運動的時間和路程的圖像，如圖5所示。

圖5 時間和路程的圖像：t(s)

引入分布函數F(t)用以表征堆垛機到達指定位置(xk,yk)所花費的時間小于t的概率。

假定xk、yk相互獨立，則水平方向和豎直方向的行程時間tx、ty也相互獨立，表達式(9)可變形為以下形式：

FTk(t)=P(g(xk)≤ t,g(yk)≤ t)=P(g(xk)≤ t),P(g(yk)≤ t)（10）

通過分析可知，txk=g(xk)和tyk=g(yk)存在反函數，即g-1(txk)=xk，g-1(tyk)=yk，所以上述表達式可進一步變形為以下形式：

基于隨機存儲策略，可假定任意儲位（揀選位）k的坐標xk、yk相互獨立且服從均勻分布，因此：

式中g-1(t)表示的含義為堆垛機在時間t內行走的路程，即基于時間變量的路程關系 s(t)，則g-1(t)=s(t)，其圖像如圖6所示。

圖6 路程和時間的圖像：s(t)

基于上述分析，得到了關于Ftx

(t)和Fty

(t)的最終

kk表達式。

4 狀態分析

通過對堆垛機行程時間的分析可知，行程時間t的分布函數FTk(t)的大小與 vx、vy、ax、ay、L、H 有關，基于前文的假設條件可以確定出三種不同條件下FT(t)的表達式。

在條件1下，FTk(t)的圖像如圖7所示。

圖7 路程和時間的圖像：條件1

在不同區間內FTk(t)的表達式為：

在條件2下，FTk(t)的圖像如圖8所示。

圖8 路程和時間的圖像：條件2

在不同區間內FTk(t)的表達式為：

在條件3下，FTk(t)的圖像如圖9所示。

圖9 路程和時間的圖像：條件3

在不同區間內FTk(t)的表達式為：

由于三種不同條件下的行程時間概率分布函數表達式已經明確給出，三種不同條件下的行程時間的概率密度函數 fTk(t)由此確定。用Em(OT)表示單指令調度模式下基于第m個條件堆垛機的平均運行時間，則其表達式為：

堆垛機在n(有限正整數)個運行指令下，到達的距離I/O點即坐標原點(0,0)最遠的儲位坐標為(x,y)，如圖10所示，堆垛機在水平和豎直方向上運動的時間分別為Tx、Ty。則表達式（22）表示的含義為在以x和y為界構成的矩形作業區內，堆垛機在單指令調度下到達所有儲位進行作業的平均行程時間。

5 分析與評價

為了評價構建的行程時間模型的準確性，在Flexsim中構建仿真模型，兩種模型的vx、vy、ax、ay、L、H取值相同，通過對比分析兩種模型的結果，對本文構建p模型的準確性做出合理評價。

定義貨架長為60m，高為20m，同時假定每個貨位長寬高都為1m。堆垛機水平方向的最大運行速度為5 m s，豎直方向的最大運行速度為2 m s。假定堆垛機水平方向和豎直方向的加/減速度大小相等，在仿真過程中考慮加/減速度大小不同的五種情況，取值分別為0.5 m s2、0.6 m s2、0.7 m s2、0.8 m s2、0.9 m s2。

Flexsim仿真模型和行程時間模型的計算結果見表1。從表1中的數據可知，在加/減速度不同的五種情況下，行程時間模型的計算結果與仿真模型得到的結果相比，最大的偏差只有0.161%。這充分表明，本文提出的行程時間模型的計算結果準確度高。因此，該模型在設計自動化立體庫時能提供一定的參考價值。

圖10 有限個指令下最遠儲位示意圖

表1 計算結果表

6 結論

堆垛機在自動化立體庫中扮演著重要的角色，與堆垛機相關的指標對自動化立體庫的績效有很大的影響。本文以行程時間為切入點，提出了行程時間模型用以在自動化立體庫的設計過程中提供參考，通過與仿真結果的對比，驗證了模型在一系列假定條件下的準確性。

本文的平均行程時間模型是在堆垛機的單指令調度模式下提出的，但是實際生活中，還有雙指令調度模式、一臺堆垛機服務多條巷道模式等更為復雜的模式，表明文章的研究深度不夠。此外，平均行程時間模型在很大程度上可以被視為評價模型。在自動化立體庫設計過程中，該模型并不能直接給出堆垛機的最優運行速度、加速度以及貨架的布局方式，只能在vx、vy、ax、ay、L、H這些指標確定的情況下給出較為理想的評價結果。本文假定了水平和豎直方向上的加速度數值相等的情況，沒有對加速度不等的情況進行研究，也沒有考慮堆垛機的變加速運動情況。