高中數學一元二次不等式解法

后義章 沈明艷

摘 要：一元二次不等式是指：形如ax2+bx+c>0（或<0）的式子，含有1個未知數，未知數的最高次數為2，一元二次不等式的解法可以運用配方法、判斷Δ和0的關系、觀察一元二次函數圖像、數軸穿根法等解題方法來進行解題。下面，我從“結合二次函數圖像，數形結合解題”“把一元二次不等式和方程相結合解出不等式”“學生解一元二次方程的易錯點分析”三個方面入手，就一元二次不等式的解法進行初步的分析與探討。

關鍵詞：高中;數學;一元二次不等式解法

在解一元二次不等式時，教師要引導學生考慮到函數、方程和不等式之間的關系，解不等式時，借助方程和函數圖像，可以使解題更加方便。通過解一元二次不等式，提高學生的邏輯思維能力和運算能力，使學生意識到事物之間是相互聯系、相互轉化的，使學生形成數形結合、分類劃歸思想，培養學生的歸納總結、抽象概括能力。下面，我結合自身的教學實踐，就一元二次不等式的解法進行初步的分析與探討。

一、 結合二次函數圖像，數形結合解題

運用二次函數的圖像解一元二次不等式，通過數形結合，可以使學生快速找到不等式的解。學生觀察一元二次函數的圖像，更好地理解一元二次函數和一元二次不等式之間的關系。學生根據一元二次不等式，先畫出一元二次函數的圖像，根據圖像寫出一元二次不等式的解集，采用圖像解一元二次不等式更加直觀，便于學生理解和快速掌握。

例如，不定式x2-x-6>0的解。先判斷Δ是否大于0，在這個不等式中，Δ=（-1）2-4×1×（-6）>0，學生作出y=x2-x-6的圖像，發現函數有兩個實數根，分別為-2和3，觀察函數圖像，x2-x-6>0的部分為x<-2或x>3。對于不等式4x2-4x+1>0，學生先判斷Δ，在這個不等式中Δ=0，所以不等式的解為x≠1/2。我引導學生總結解一元二次不等式的方法：第一步，先把二次項的系數化為正，第二步，求Δ，判斷Δ和0的大小關系，如果Δ>0，先求出方程的兩個根，再結合函數圖像判斷。若Δ=0，則函數圖像和數軸只有1個交點，若Δ<0，函數和數軸沒有交點，結合函數圖像進行判斷。

二、 把一元二次不等式和方程相結合解出不等式

一元二次不等式和一元二次方程緊密相關，求出方程的根，一元二次不等式問題就可以迎刃而解。因此，一元二次不等式問題可以轉化為方程問題進行解答。教師可以引導學生運用因式分解和配方法求一元二次不等式的根。

例如，對于不等式x2-10x+16>0，教師可以引導學生先運用十字相乘法得出（x-2）（x-8）>0分兩種情況討論：（x-2）>0，（x-8）>0或者（x-2）<0，（x-8）<0，最后得出x<2或者x>8。不等式x2+3x-18<0這個不等式，先運用十字相乘法得出（x+6）（x-3）<0，分情況討論：（x+6）<0或者（x-3）>0或者（x+6）大于0，（x-3）<0，最后得出：-60或者（x+3）>0，（x+1）<0，最后得出-3

教師還可以引導學生運用配方法解一元二次不等式，可以先運用配方法解一元二次方程，得出方程的解。把ax2+bx+c=0的形式轉化為（mx+n）2=a的形式進行計算，運用開平方法來進行解題。x2+6x-16>0這個不等式在解題時可以先轉化為解方程x2+6x-16=0，再進行下面的解答。方程：x2+6x-16=0先進行移項，得出x2+6x=16，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，得到x2+6x+9=25，（x+3）2=25，可以得到x=2或者-8。所以x2+6x-16>0的解為x<-8或者x>2。運用配方法解一元二次不等式是經常使用的一種方法，便于學生理解不等式和方程之間的內在聯系。

三、 學生解一元二次不等式的易錯點分析

在解一元二次不等式時，如果二次項的系數為負數時，首先要把二次項的系數乘-1，使二次項的系數變為正數，再求解一元二次不等式。例如，不等式-x2+2x+3<0，學生在解題時，會忽視二次項系數為負數，解出不等式的解為：-10。解集為x<-1或者x>3。

綜上所述，教師要指導學生運用多種解題方法進行綜合解題，使學生根據不等式的特點選擇合適的方法，使學生運用恰當的方法高效的解出不等式。在解不等式時，教師要使學生理解一些重要的數學思想，比如數形結合、分類討論等數學思想，為學生后面的數學學習奠定基礎。

參考文獻：

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[2]譚博文.淺析一元二次不等式解法[J].農家參謀，2017（13）：184.

[3]潘向宸.一元二次不等式的多元化解決方法探究[J].數學大世界（中旬），2018（9）：82.

作者簡介：

后義章，甘肅省隴南市，宕昌縣沙灣中學;

沈明艷，甘肅省隴南市，文縣橋頭學區。