不等式問題中的數(shù)學(xué)思想

摘 要：通過初中、高中的學(xué)習(xí)我們接觸并學(xué)習(xí)到了不等式及相關(guān)階梯方法，在高考中，不等式與推理證明又是密不可分的，占的分?jǐn)?shù)比重也比較高，所以我們高中生有必要學(xué)好不等式這一定理。不等式與推理證明內(nèi)容豐富，涉及考題變化萬千，在復(fù)習(xí)這一內(nèi)容時，只有抓住重點方可事半功倍，本文分析不等式問題中的一些數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：不等式;推理;考題

一、 引言

不等式，我們作為高中生對這個概念很熟悉，經(jīng)常學(xué)到、解題中會經(jīng)常用到，不等式包含了很多的內(nèi)容哪個包含了很多數(shù)學(xué)的性質(zhì)在其中。例如對稱性、傳遞性、加法單調(diào)性（即同向不等式可加性）、乘法單調(diào)性、同向正值不等式可乘性、正值不等式可乘方、正值不等式可開方等等很多，不等式的分類也有很多，例如有琴生不等式、均值不等式、絕對值不等式、權(quán)方和不等式、赫爾德不等式、基本不等式等等，在這里就不一一敘述了，這些不等式中都包含了數(shù)學(xué)思想，對解題很有幫助。

二、 不等式包含的數(shù)學(xué)思想

我們都知道，不等式只是我們高中學(xué)習(xí)眾多內(nèi)容的一部分，但是卻體現(xiàn)出了很多的數(shù)學(xué)思想，通過高中學(xué)習(xí)，我們知道證明不等式的一些基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法等，最常見的有比較法、綜合法和分析法，這三種方法要求我們能熟練應(yīng)用。此外，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。

（一） 不等式的解法有解題模式，例如：

1. 知和求積的最值：求解此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”。但應(yīng)注意以下兩點：①具備條件——正數(shù);②驗證等號成立。

2. 知積求和的最值：明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件。

3. 構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解。

4. 利用基本不等式求最值時應(yīng)注意：①非零的各數(shù)（或式）均為正;②和或積為定值;③等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個條件缺一不可。

以上通用解法我們可以看出來，這不僅是解題不等式，數(shù)學(xué)中也是如此，數(shù)學(xué)思想里包含了以上的模式，數(shù)學(xué)學(xué)科里，每個題目都有類似的解題通用模式，數(shù)學(xué)里很多都是給出已知條件，根據(jù)已知條件進行推理、分析，以達(dá)到解題的目的，這也很符合數(shù)學(xué)思想，得到完美體現(xiàn)。

（二） 不等式的證明

證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數(shù)學(xué)歸納法等，最常見的有比較法、綜合法和分析法，這三種方法要求我們能熟練應(yīng)用。此外，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，是高考壓軸題中常見的題型，我們也應(yīng)掌握。

比較法證明不等式：

例如設(shè)a，b是非負(fù)實數(shù)，求證：a3+b3≥ab（a2+b2）。

證明：由a，b是非負(fù)實數(shù)，作差得

a3+b3-ab（a2+b2）=a2a（a-b）+b2b（b-a）=（a-b）（（a）5-（b）5），

當(dāng)a≥b≥0時，a≥b，從而（a）5≥（b）5，得（a-b）（（a）5-（b）5）≥0;

當(dāng)0≤a0

（b+c）+（c+a）≥2（b+c）（c+a）>0，

三式相乘得①式成立，故原不等式得證。

分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆。此不等式解題中，也運用了數(shù)學(xué)思想，推理也是數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的解題方法之一，此證明方法也表現(xiàn)出了很強的數(shù)學(xué)思想。

均值不等式在初等數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，在證明不等式成立問題或解決最值問題時，作用顯得尤為突出。利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“定和”和“定積”，要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，配合一定的變形技巧，比如拆分、配湊等方法，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為適合使用均值不等式結(jié)構(gòu)的簡單問題，從而順利解決問題。

在分析數(shù)學(xué)中有些不等式的證明往往比較復(fù)雜，若運用代數(shù)方法較難得到解決，而且具體的直觀含義也比較抽象。因此，為了簡化這些不等式的證明過程，通過閱讀大量的相關(guān)資料，本文從數(shù)學(xué)的基本概念入手，運用了1種巧妙的方法——概率方法，即根據(jù)不等式的主要特征，結(jié)合概率論的1些基本概念和公式，通過建立1個適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停x以1些隨機事件或隨機變量的具體含義，再利用概率論的理論加以證明，討論了柯西（Cauchy）不等式，級數(shù)不等式，詹森（Jensen）不等式和幾個1般不等式的證明。本文通過對利用概率方法證明不等式進行了分析，從而得出：概率方法可以為抽象的數(shù)學(xué)問題提供具體的概率背景，同時還溝通了各數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系;顯示了概率應(yīng)用的巧妙性和優(yōu)越性，大大簡化了不等式的證明過程。

解題不等式有個定理口訣，如下：

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖、建模、構(gòu)造法。

以上的口訣和數(shù)學(xué)思想中的一些定理很類似，都是通過已有的代入，或者類比，更簡便的得到結(jié)果，達(dá)到解題的目的。二者有很大的相似之處。

三、 總結(jié)

數(shù)學(xué)思想在不等式中的體現(xiàn)有很多，很多題型或者方法中都得以體現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想可以應(yīng)用與各個不等式或者說，應(yīng)用與各個定理、推論中，數(shù)學(xué)思想的等價、轉(zhuǎn)化等思想是永恒的，好好理解數(shù)學(xué)思想的真諦，有利于我們高中生學(xué)好各個學(xué)科、全面發(fā)展。

作者簡介：

錢宇航，河北省石家莊市，石家莊市精英中學(xué)。