立體幾何中的動態題

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

動態題是立體幾何中的常見題型，但此類問題對部分學生而言有一定的難度，有時往往望而卻步，筆者通過幾例動態題分享處理此類問題的常見策略.

一、由動變定

圖1

動態題最大的難點是不斷變化，假如能抓住這個變化問題的規律，找到所求問題的關鍵位置，那么問題就可迎刃而解了.

例1 如圖1，正四面體ABCD的頂點C在平面α內，且直線BC與平面α所成的角為45°，頂點B在平面α內的射影為點O.當頂點A與點O的距離最大時，直線CD與平面α所成角的正弦值等于( ).

從題中可看出，實際為△ABC繞邊BC旋轉，要想O、A兩點距離為最大，只需面BOC與面ABC共面即可.

圖2

圖3

本題運用傳統法或空間直角坐標系來求解有所困難，而空間基底向量也是解決這個問題的又一亮點.

例2 如圖3，棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1，點A在平面α內，平面ABCD與平面α所成的二面角為30°，則頂點C1到平面α的距離的最大值是( ).

本題的運動變化是面ACC1A1中的線AC繞點A在面ABCD內運動，要想使點C1到平面α的距離最大，實際只需點C到面α的距離最大即可.原題變為：在面ABCD內點C到面α距離最大.

圖4

上述兩題充分利用旋轉規律找到最佳位置，即動態題轉化為固定位置題，從而實現由動變定的轉化.

二、由幾何變代數

立體幾何動態題的最大障礙是變化不定，假如能將幾何問題轉化為代數問題，何嘗不是一種好的策略.

例3 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F為BD1的兩個三等分點，G為長方體ABCD-A1B1C1D1表面上的動點，則∠EGF的最大值為( ).

A．30° B．45° C．60° D．90°

作為常見幾何圖形長方體，建立坐標系是一種不錯的選擇.

圖4

圖5

例4 如圖5，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E,F分別為AB,BC的中點，設異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為.

上述動態題充分利用代數優勢將幾何問題代數化，體現出數與形的完美演繹，從而實現由幾何變代數的轉化.

三、由空間變平面

由于缺乏空間想象能力，要完成空間問題的求解實在有點困難，假如能將空間問題變為平面問題，那將柳暗花明又一村.

例5 如圖6，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，E,F分別是棱AD,BP上的動點，且滿足AE=2BF，則線段EF中點O的軌跡是( ).

A.一條線段 B.一段圓弧

C.拋物線的一部分 D.一個平行四邊形

本題屬于雙幾何(立體幾何中的平面幾何知識)試題，曾風靡一時，依靠空間問題能力去轉化有點困難，不妨轉化為平面幾何進行處理.

圖6 圖7

解取AB中點為M，在面ABCD中作EG∥AB交BC于G，連FG，取FG中點為N，則四邊形OMBN為平行四邊形，則MO∥BN.在面BCP中作CH∥GF交BP于H，取CH中點為K.因為AE=2BF，所以BG=2BF，顯然△BGF與△BCH相似，即點N必在BK上.故O在平行于直線BK的直線上.選A.

圖8 圖9

由于本題為折線段之和，其最常見的處理方法為展開成平面圖形進行計算.

在三棱錐P-ABC中，將側面BCP繞PB旋轉至平面

BC′P，使之與平面ABP共面，如圖9所示．當O，E，C′共線時，CE+OE取得最小值，此時E為PB的中點.

上述動態題充分利用平面幾何中的各種性質優勢將問題迎刃而解.

解決動態題的常見策略為由動變定、由幾何變代數、由空間變平面，通過處理構造出參數間關系，從而將此類難題予以一一破解，本文也借此拋磚引玉.