全面透視問題 構造轉化突破

于 祥

(江蘇省揚州大學附屬中學 225000)

構造法是數學解題中應用較為廣泛的一種方法，構造即采用某種方式將抽象的問題直觀化、形象化，然后按照一般方法求解的一種思維方法，可以用于函數、幾何、數列、不等式等問題的求解.依據該方法的思想內容，在求解時首先需要根據題干的信息和條件構造出相應的內容，建立起數學關系，達到問題簡化的目的.下面將舉例探析構造法的解題應用.

一、構造函數方程

數學的函數與方程之間有著緊密的聯系，在求解一些函數、方程或不等式問題時，若題干的問題與條件之間的關系不明確或難以直接獲得解題思路，此時就可以考慮采用構造函數方程的方法.在構造函數方程時，首先需要分析題干中的數量關系和結構特征，在此基礎上合理構建函數或方程式，然后統籌分析問題，突破求解.

例1 設函數f(x)在區間(0，+∞)上的導函數為f′(x)，如果f(x)和f′(x)滿足如下關系：2f(x)+f′(x)=x，并且f(3)=0，則對于不等式f(3)>f(2x-1)，其解集為____.

點評上述題干給出了函數f(x)與其導函數f′(x)的關系式，然后通過構造新的函數來求解函數f(x)的解析式，通過分析單調性進而獲得了不等式的解集.需要注意的是所構造的新函數與題干條件的關系式有著緊密的聯系，是基于其結構特征所構造的，因此利用構造法求解問題時要注意對題干信息的分析與結構提取.

二、構造圖形模型

數形結合法是高中數學常用的方法之一，該方法最為顯著的特點是可以借助圖形的直觀性來分析抽象的數學問題，因此對于某些較為復雜的問題可以采用構造圖形或幾何模型的方法.構造圖形模型實際上是用直觀的圖形來呈現題設數量關系的一種過程，在構建過程中不僅可以深度理解題干條件，還可以借助圖形來挖掘問題隱含的條件，從而為后續的解題突破提供可能.

例2 已知直線l1的解析式為4x-3y+6=0，l2的解析式為x=-1，現拋物線y2=4x上有一動點P，設點P到直線l1的距離為d1，到直線l2的距離為d2，則距離之和d1+d2的最小值為____.

點評分析上述解題過程可知，正是直觀圖形的介入從而獲得了拋物線準線的信息，對問題進行了轉化，并有效利用直線最短原理達到了破題的目的.構建圖形模型不僅可以有效提升解題效率，同時繪圖的過程也是對條件深度理解和思維歷練的過程.

三、構造特殊數列

數列是研究數學規律的重要工具，在求解某些代數問題時可以嘗試采用構造數列的方法，利用數列的性質來深度研究問題.考慮到問題研究的便利性，在構造數列時盡可能構造一些特征鮮明的數列，如等差數列和等比數列，巧妙地利用數列的特征關系來對問題進行轉化.

點評上述證明過程利用常見的等比數列求和來代換其中的代數式，然后借用數列的性質來求證問題，顯然解題效果更為良好.因此在求解某些代數問題時可以合理利用特殊數列的通式或求和公式對問題條件進行轉化，降低解題難度.

綜上可知，利用構造思想，構造相應的模型是破開難題壁壘、拓展解題思路的一種有效途徑.構造法實質上是基于知識聯系構建的解題模型，無論是構造函數、圖形還是數列等，都需要對知識模塊的聯系有著充分的理解.因此在平時應注重知識聯系性的學習，構建完整的知識體系.