立足教材 明晰方向
——挖掘教材中有價值的數(shù)學(xué)問題

徐照武

(廣東省珠海市實驗中學(xué) 519000)

高考數(shù)學(xué)試題常常圍繞考試大綱結(jié)合現(xiàn)用教材挖掘素材，這使得試題更具原創(chuàng)特點、更貼近學(xué)生實際，讓學(xué)生在解題時對題目本身有似曾相識之感.實際上，命題者堅持的是選材源于教材，難度高于教材的指導(dǎo)思想.所以，平時教學(xué)或復(fù)習(xí)時就要立足教材，把教材中的概念、定義、定理、例習(xí)題等作為可能的試題源泉來研究，讓課堂回歸到數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì).

一、定義是最好的性質(zhì)

數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識體系的基本要素.

數(shù)學(xué)中的定義，特別是解析幾何中的定義，常常是一種發(fā)生定義.這種定義方法實際上就是對發(fā)生過程的一種描述.

以下是一節(jié)高二課堂小結(jié)課(也可以作為高三第一輪復(fù)習(xí)課)的一個小片段(大約需要15分鐘，老師最好在課前布置給學(xué)生以下自主學(xué)習(xí)內(nèi)容：例1(1)除了課本解法外，還有沒有其他解法？例1(2)要求嘗試多種解法).

例1 (1)(人教社實驗教材(下同)必修2第122頁例5)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.

(2)(2-1第37頁習(xí)題2.1A4)過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A,B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.

師：我們課前布置了例1的兩個小題，請各小組用兩分鐘時間交流.

師：先請一名同學(xué)展示你們小組的情況.

師:很好，非常好！這個解法緊緊抓住了在運動過程中的定值(圓的半徑)與定點(中點N)，快速找到了動點M的軌跡.同學(xué)們進一步想一想，(2)有沒有簡練的解法呢？

生：有.

師：好，這位同學(xué)，請說一下你的解法.

師：非常棒. 這個解法仍然緊緊抓住了在運動過程中的定值(OC)與定點(中點C′)，快速找到了動點M的軌跡.(以上題目可以結(jié)合幾何畫板等軟件演示)

例2 (1)(1-1第42頁習(xí)題2.1A7，2-1第49頁習(xí)題2.2A7)如圖3，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q.當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

(2)(1-1第54頁習(xí)題2.2A5，2-1第62頁習(xí)題2.3A5)如圖4，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q.當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

師：來看例2.有了例1的求解過程，對于例2，也就水到渠成了.只要結(jié)合定圓的半徑是定值及橢圓與雙曲線的定義，相信大家很快就能把問題解決.

但要注意反思下面兩個問題：一是(1)(2)的區(qū)別(點A在圓內(nèi)與點A在圓外，垂直平分線l分為和半徑OP及直線OP相交于點Q，多么美妙的一對姊妹題.這就是數(shù)學(xué)之美！)，二是(2)的軌跡為什么是兩支？

先給出問題的結(jié)論：

其實研究過程也非常簡單：

軌跡問題是解析幾何的兩大研究問題之一.教學(xué)時，既要考慮所有學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又要兼顧學(xué)生的個體差異.從最簡單的情形出發(fā)，從最有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，可以讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)的魅力與簡潔美.以上這幾個問題借助圓錐曲線(含圓)的定義都能順利解決.(當(dāng)然，利用圓錐曲線定義解題在教材及各種材料中都有非常好的歸納.)

定義是最好的性質(zhì).不但圓錐曲線的定義在解題時經(jīng)常運用，離心率、等差等比數(shù)列、三角函數(shù)、斜率、向量的積等這些定義都會經(jīng)常運用，并能簡化解題過程.

二、嘗試“小課題”研究

“小課題”研究既是一種綜合性的實踐活動，也是一種特殊的學(xué)習(xí)活動.開展“小課題”研究，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成“問題即課題，學(xué)習(xí)即研究”的習(xí)慣，對于培養(yǎng)學(xué)生的研究意識和綜合能力，促進其成長，提高學(xué)業(yè)水平，有非常積極的意義.這里的“小課題”，是加引號的“小課題”，與老師們做的“小課題”研究不是完全一樣的.這里的研究目的主要是解決學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題、困惑等，是以有利于他們的學(xué)習(xí)與能力的提高為目的.有時候，“小課題”甚至小到能很快解決的程度.我們也不妨把它理解為就是“研究性學(xué)習(xí)”吧!

教材是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心教學(xué)材料，是教材編者集多代人智慧的結(jié)晶.我們要通過教材題目或材料背景進行創(chuàng)新，可以設(shè)問方式創(chuàng)新，研究角度創(chuàng)新，教與學(xué)方式創(chuàng)新等等，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、體驗、反思、積累，做到舉一反三，融會貫通.現(xiàn)行教材雖然基本上沒有未解決的問題，但對于學(xué)生來說都是新鮮的.有時我們老師集幾十年的“研究”仍然不能完全吃透教材與教法.下面這道課本例題，就很有研究價值.

記∠COP=θ,求當(dāng)θ取何值時，矩形ABCD的面積S最大，并求出最大面積. (必修4第141頁例4)

這道題目，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生難度已經(jīng)不小了.但對學(xué)有余力的學(xué)生，在老師的指導(dǎo)下可以循序漸進地提出以下問題，作為課外研究性學(xué)習(xí)的“小課題”進行挖掘.

(1)矩形面積最大時OC有什么特點？(角平分線)

(2)如果矩形ABCD的四個頂點有兩個在圓弧上，另兩個在兩條半徑上，有沒有最大面積？能利用(1)的結(jié)論得到簡便解法嗎？(有，可以按圖9作角平分線，化為(1))

(3)以上兩種解法得到的最大面積一樣嗎？誰最大？

(6)在中心角為2α(0<2α<2π)的扇形內(nèi)怎樣截出面積最大的矩形？

下面我們探討(6)

先研究0<2α≤π的情況(如圖7，8 ，9).

在第一種情況下(如圖7，8)，由OC=R,設(shè)∠COB=θ，則BC=OCsinθ=Rsinθ.

∴只需sinθsin(2α-θ)=sinθsin2αcosθ-sin2θcos2α