談?wù)劷鉀Q數(shù)學(xué)問題中構(gòu)造函數(shù)的方式

毛 藝

(四川省宜賓市南溪區(qū)第二中學(xué)校 644100)

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用構(gòu)造函數(shù)，能簡化解題的過程，使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念、公式和定理直觀、形象、具體、生動地呈現(xiàn)在學(xué)生面前.基于此，本文就探討幾種構(gòu)造函數(shù)的方法.

一、換元構(gòu)造函數(shù)法

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們還經(jīng)常遇到多變元函數(shù)的處理問題，面對這類函數(shù)計算，常規(guī)的解題方法也無法輕松地求解，這時候，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生采用換元構(gòu)造函數(shù)的方法，用一個新元替代該函數(shù)的一部分或全部的變元，從而將變量由多元化為少元，達到減元的目的，這樣能快速求解出來.

在解決這道題時，我們將待解決的函數(shù)式進行了適當?shù)淖冃危讯帜缸優(yōu)榻y(tǒng)一的同一種結(jié)構(gòu)，然后借助輔助元進行替代，從而把兩個變元問題轉(zhuǎn)化為一個變元問題，然后利用輔助元對自變量進行構(gòu)造函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)進行求解，這樣就極大地簡化了解題的難度.

二、特征構(gòu)造函數(shù)法

在實際解題中，要想引導(dǎo)學(xué)生進行函數(shù)構(gòu)造，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細審題，根據(jù)題目給出的條件或是要求解的結(jié)論進行構(gòu)造函數(shù)，這樣能有效簡化求解的難度，提升學(xué)生解題的速度和準確率.

三、作差構(gòu)造函數(shù)法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在處理一般構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)這樣的練習(xí)題時，我們就可以采用作差構(gòu)造函數(shù)的方法，將其轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)F(x)min≥0，或者是F(x)min≤0的形式，也就是求解函數(shù)的最值問題.在解決這類問題時，我們就可以采用直接作差構(gòu)造函數(shù)的方法.

例3 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都經(jīng)過點P(0，2)，且在該點處有相同的切線y=4x+2.(1)求解a，b，c，d的值；(2)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

分析(1)這道題經(jīng)過計算，可以很容易得出答案，a=4，b=2，c=2，d=2.

(2)由(1)的答案可知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).假設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，則可以推導(dǎo)出F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可知，F(xiàn)(0)≥0，且F(-2)≥0，那么我們就可以得到1≤k≤e2.所以，f(x)≤kg(x)恒成立，則k的取值范圍就是[1,e2].

四、其他方式構(gòu)造函數(shù)法

以上三種構(gòu)造函數(shù)法是我們在高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的，特別是第三種，是最基本的解題方法.在實際的解題中，除了這三種方法構(gòu)造函數(shù)以外，我們還可以用分離參數(shù)的方法，即對已知恒成立的不等式，在能夠判斷出參數(shù)系數(shù)正負的情況下，我們就可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將該函數(shù)的參數(shù)分離出來，從而得到一個一端是參數(shù)，而另一端則是變量的不等式，這樣，我們只要研究不等式另一端的最值就可以輕松解決問題了.此外，還有主元構(gòu)造函數(shù)的方法和放縮構(gòu)造函數(shù)的方法，這些方法在實際的解題中，都能有效地簡化解題的步驟，降低解題的難度，從而輕松、容易地化解函數(shù)問題.在實際的教學(xué)中，教師應(yīng)該向?qū)W生滲透這些有效的構(gòu)造函數(shù)方法，幫助學(xué)生建立構(gòu)造函數(shù)的思想，提升他們的解題能力.當然，受篇幅限制，本文就不一一贅述了.