一個錯解引發的探究

周天明

(安徽省合肥市第六中學 230001)

一、舉例及解析

分析試卷時我給出了以下解法：

由|PA|=|PB|，可得A,B的中點與點P連線的斜率為-3.

聽完他的提問，我的第一反應是認為這可能只是一種巧合，但還是讓他把他的解法展示給大家看看.他的解法如下：

解當直線l斜率不存在時，根據對稱性可知，直線l被雙曲線與漸近線所截得的兩段長相等. 故直線截雙曲線的弦的中點與直線與兩條漸近線交點的中點相同.

所以xP+xQ=xA+xB，故直線截雙曲線的弦的中點與直線與兩條漸近線交點的中點相同.

故解法二并不是巧合，而是有其合理性和數學背景.

解因為A,P,Q,B共線，所以要證|PA|=|QB|，只需證xP-xA=xQ-xB，即xP+xQ=xA+xB，當直線l斜率不存在時，根據對稱性可知，直線l被雙曲線與漸近線所截得的兩段長相等.

當x0≠a時，顯然直線l存在斜率,故可設直線l的方程為y-y0=k(x-x0),

這時下課鈴響了，我讓同學們課下繼續思考這個問題，看看還有什么新的發現.第二天，又有同學有了新的發現，下面是幾位同學的發現.

故△OAB的面積為定值.

二、總結

哈爾莫斯提出“問題是數學的心臟”.通過這次由于錯解引發的探究，我感到問題也是數學教學的心臟，只有問題才能引發學生思維活動，發展學生的數學能力.以問題為指引，引導學生自主探究，合作學習，我們會發現學生的潛力是無窮的.如何激發學生興趣，如何引導學生去主動探究，是值得每位數學教師深思的問題.數學教學要著眼于學生的長期利益，發揮數學的內在力量，以提高數學素養、發展思維能力、培育理性精神為核心，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考，成為善于認識問題、解決問題的人才.