淺析關系映射反演方法的教學

孫婷婷

[摘? ?要]通過對關系映射反演方法基本概念的介紹，探討關系映射反演方法在中學數學教學中的教育價值，并結合具體案例淺析如何階段性地培養這種數學思想方法.

[關鍵詞]關系映射反演;數學思想方法;教學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0005-02

一、 關系映射反演方法的概念

關系映射反演方法是數學中一個極其普遍的方法.數學學科里的各個結構系統一開始基本上是獨立發展起來的，后來，研究者察覺到其中一些系統之間有著諸多的聯系，有的甚至還可以一一對應起來.于是，尋找、構思這類系統間的對應聯系.例如，古希臘人就喜歡用長度表示數，并把一些代數運算映射到長方形面積上，得到了以幾何術語表示的一系列代數恒等式.

關系映射反演方法的基本含義可以用框圖表示如下：

二、關系映射反演方法在中學數學中的教育價值

1.提高對數學整體的認識

數學知識并不是孤立存在的，中學數學教科書中的每一個章節，看似獨立，實際上都有著緊密的聯系.例如，數學知識中的函數、方程與不等式，指數與對數，復數的概念及其幾何意義，解析幾何，等等.數學方法中的數形結合法、復數法、參數法等，都體現了關系映射反演的原則.中學數學涉及許多數學系統領域，從關系映射反演的角度來看，這些數學系統間的同構與對應，是關系映射反演的基礎，極大地豐富了數學方法.對關系映射反演方法的掌握也有助于學生構建一個完整的、互相聯系的數學知識體系.關系映射反演方法就像一張網，將中學數學中的不同分支、不同內容編織在了一起.如果學生能夠很好地認識和理解這個方法，不僅能夠感受數學的整體性和聯系性，還能夠觸類旁通，主動建立更多的聯系，編織一張更大的網.

2.提高數學應用能力

我們遇到實際問題的時候，一般都是先解讀信息、分析事物間量與形的關系，再用數學邏輯演算作出解答，這就是映射的過程.相較于數學模型方法，關系映射反演方法更強調實際問題中的關系屬于哪種類型，然后再去尋找與之相對應的數學模型去刻畫，這樣可以使問題更加明了，接著通過數學結論反演到實際中去，能夠讓學生養成完整解決問題的習慣.

3.提升多方面的思維能力

關系映射反演方法對思維能力的培養體現在問題解決的過程之中;尋找合適的關系結構，建立對應關系和運算，在另一關系結構中構建出問題的合適模型，同時要注意這樣的映射是否有缺陷（例如，直角坐標系上的點到極坐標上的點的映射，其間的一一對應并不包括原點，故原點需另行檢驗）.這一過程需要學生既有整體思考、有大局觀，又不遺漏部分的性質，形成嚴謹思考的習慣.關系映射反演方法的運用中，“定映”（即尋找合適的關系結構）這一步最難，但對學生的發散思維和可逆思維的培養有著很大的教育價值.

三、關系映射反演方法教學的階段性簡析

學生頭腦中的數學思想方法到底是怎么形成的呢？如何有針對性地加以培養？我們知道，數學思想方法可以分為許多層級，有些比較具體，可以正面闡述，或者加以充分展現，通過練習使之升華，但是有些如同關系映射反演方法這樣的比較抽象，且涵蓋了比較多的數學知識的思想方法，就必須長期領會，點點滴滴地積累才能體現其中的奧秘.在這里，我們借鑒張奠宙先生對培養數學思想方法的一些思考，將滲透關系映射反演方法過程分成四個階段.

1.隱性的操作感受階段

該階段是指學生初步接觸一些數學知識，屬于“順向思維”階段.這一階段，學生剛學習了一些數學概念、定理等基礎知識，獲得了一些基本技能，盡管這些基礎知識和基本技能的后面蘊藏著數學思想方法，然而學生的注意力往往在基礎知識的顯性一面.教師在這個階段的主要教學策略是“讓學生探索、構建與掌握知識與技能”，至于背后的數學思想方法應屬于“無聲語言”，由學生自己在探索、構建與掌握知識中感悟.

這是小學數學“兩點之間的連線中，線段最短”的教學中時常出現的例子.計算正方體表面兩點之間的距離屬于立體幾何問題，超出了小學生的能力范圍，但是受所學知識的影響，大部分學生能夠比較自然地想到將紙展開，這樣就變成了之前已經解決了的問題.這種樸素的想法本質上就是將問題從立體幾何映射到平面幾何，在平面幾何系統中解決這個問題以后，再反過來求得原問題中立體幾何問題的解決.這種無意識地使用關系映射反演方法的

行為可以追溯到更早的時候.例如，在學習減法“5-2”時，通常都是這樣一個思路：找一個數“？”，讓“2+？= 5”.這里本質就是將減法映射成加法來運算;又如，在學習整式加減運算時引入了同類項的概念，將多項式的加減映射為有理數的加減.諸如此類的例子還有許多，在此不一一列舉.

在這個階段的教學中，教師不需要提及“關系映射反演”這個詞語，只需放手由學生自主探索和建構.在經歷了一次又一次“潤物細無聲”的反復滲透后，學生也能初步體會該數學方法的基本指導思想，即將新問題轉化成舊知識，同時感悟數學知識、方法之間的緊密聯系.

2.正面的認識和理解階段

盡管我們給了學生一個“隱性的操作感受階段”，但由于學生的年齡特征及知識和能力的局限，如果沒有進行必要的點撥，他們也很可能無法“感悟到”知識背后的一些數學思想方法，所以教師應該適時點撥，通過數學知識的傳授或數學問題的解決，采用顯性的文字或口頭語言“道出”一些數學思想方法，并對學生有意識地訓練，這個階段稱為“正面的認識和理解階段”.這個階段的導向性比較明顯，是將內隱性較強的數學思想方法顯性化傳輸的時期，也可能是學生有意識地“知覺”的階段，是學生對數學思想方法感悟和學習的重要階段.

以解析幾何的教學為例，橢圓這一節是用解析方法研究一個新的曲線，主要知識點有：“橢圓”的定義，由定義到方程，由方程再回到幾何圖形的性質.那么，為什么要按照這樣的知識脈絡進行教學呢？此時，教師有必要正面顯化背后所隱藏的思想方法.在解析幾何中，利用坐標系建立了平面點集（幾何結構）與二元有序實數組（代數結構）之間的對應，這樣，就把幾何問題整體性地映射成代數問題了.通過這種方法的滲透，學生把握住了每一環節的意圖所在，從而對本章結構有了清晰的認識，在接下來雙曲線、拋物線的學習中也能更加得心應手.

3.主動運用的訓練積累階段

數學思想和方法貫穿于中學數學的整個教學過程之中.每個概念的引出、命題的證明、問題的求解，無不需要運用一定的思想方法.這時，數學方法需要有意識地培養.教師在這個階段的教學行為需要有明顯的導向性，不僅使用顯性而明確的語言概括出數學活動中的數學思想和方法，還需要設計一些問題進行訓練，強化學生運用這種思想方法的意識.當然問題并非越多越好，需要結合這種數學思想方法的特征，把握其本質.

關系映射反演方法的重要特點在于它的一般性，主要體現在它不只是解決某些具體的問題，例如三角函數問題中經常使用到的映射有方程、不等式，當然向量也同樣適用.因此，某一知識與其他知識轉化越多，可能尋找的途徑也越多，如此就能解決更多類型的問題.因此在該方法的教學中，教師應當盡可能地鼓勵學生不要局限于一種思路，應進行多角度的轉化.

這個問題直接證明有一些困難，考慮使用關系映射反演方法將其轉化成更容易解決的問題，可以有如下兩種思路.

（1）映射成幾何問題

這個例子說明，對于同樣的問題，盡可能多地去尋求與問題相關的元素、情境是非常重要的.即使學生一時難以想全面，教師在總結階段也應對這種方法進行多角度的提煉，以引起學生的重視，這樣才能起到深化這一數學思想方法的目的.

4.感悟文化修養的階段

經過長期的數學思想方法教學，學生的頭腦中已經有了許多積累，這時我們需要進行適當的總結，將思想方法提升為學生的文化感悟，乃至寶貴的文化素質.

在經歷了對關系映射反演方法的深入學習后，我們可以先試著將眼光放到日常生活中去，溫度計將氣溫的測量變換為水銀柱脹縮的測量，機械鐘表把時間的測量變換為鐘擺的周期運動的度量.從數學的角度看待這些充滿智慧的設計會發現，這實質上就是把一個領域、一個關系結構中的問題映射到另一個領域、關系結構中去加以解決.此時，學生會意識到關系映射反演方法并不是一個枯燥的數學名詞，而是一種具有普遍規律的科學方法，存在于我們生活的方方面面，從而學會了如何用數學的眼光去看待世界.

（責任編輯 易志毅）