淺析分形與混沌及其相關性

馮莉莉 盛鐵軍

【摘要】 混沌與分形是20世紀一個新興的學科理論，分形和混沌在很多自然學科和人文學科被普遍發現，非線性科學有了相當大的突破.本文主要介紹了分形與混沌的產生背景，以及分形與混沌的特征，分別對分形與混沌舉出例子，對分形與混沌的相關性進行了簡單介紹.

【關鍵詞】 混沌;分形;相關性

一、

（一）分形的定義

分形的概念是美籍數學家Mandelbrot首先提出的.分形理論的數學基礎是分形幾何學，我們都知道線是一維的，面是二維的，立體圖形是三維的，分形理論更加趨近復雜系統的描述（也就是分數維情況），更加符合客觀事物的多樣性與復雜性.1967年，Mandelbrot在論文中說道，海岸線是不規則的，并且具有極其復雜的變化，用一把直尺去測量海岸線的長度，只能用直線來得出近似值，當用更小的直尺去測量細小之處，并且這些地方也是曲線.1975年，他創立了分形幾何學（Fractal Geometry）.在此基礎上，形成了研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論.但到目前為止還沒有明確的定義.

（二）分形的特征

稱集F是分形，則F具有下列性質：

1.F具有精細的結構，也就是說有人以小比例的細節.

2.F是不規則的，以至于不能用傳統的幾何語言來描述.

3.局部和整體的自相似性，可能是近似的或是統計的.

4.維數一般是分數，并且大于它的拓撲維數.

5.分形雖然具有復雜的結構，但是以簡單的方法定義，可能由迭代產生.

（三）分形的例子

Koch曲線：1904年，瑞典數學家柯赫構造了“Koch曲線”幾何圖形.Koch曲線大于一維，具有無限的長度，但是又小于二維.

Koch曲線的生成過程：三次Koch曲線的構造過程主要分為三步：第一步，畫出一個初始圖形——一條線段;第二步，將這條線段的中間 1 3 處向外折起;第三步，按照第二步的方法依次把各段線段中間的 1 3 處向外折起.

其圖構造過程如右圖所示（迭代了5次的圖形）.這樣無限的進行下去，最終即可構造出Koch曲線.

其實分形的例子還有很多，如三分康托基、康托塵、Sierpinski墊等.自然界中也存在著分形的例子，例如，天空中的云朵、植物葉子的形狀、巖石裂縫等.這些圖形或者例子都存在著自相似性，復雜的圖形是由一個非常簡單的方程通過初值選擇反復迭代得到的結果.

二、

（一）混沌的定義

簡單來說，在非線性科學中，混沌是一種確定的但不可預測的運動狀態，因為這些運動狀態都是相似的，比表面上似乎可以確定它的運動狀態及運動軌跡，又說它是不可預測的，是因為會受到外界條件的影響，造成了運動的不穩定性.混沌理論認為在混沌系統中，初始條件十分微小的變化，經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別.

我們也可以用數學語言來定義混沌：

設V為一個集合，f：V→V稱為在V上是混沌的.如果

（1）f對初始條件的敏感依賴性.

（2）f是拓撲傳遞的.

（3）周期點在V中是稠密的.

（二）奇異吸引子

奇異吸引子是反映混沌系統運動特征的產物，也是一種混沌系統中無序穩態的運動形態.目前奇異吸引子僅僅是一個抽象數學概念，還沒有完善的理論模型.

（三）混沌的特征

1.對初值條件的敏感依賴性.

2.極為有限的可預測性.

3.混沌內部的有序性.

（四）混沌的例子

天氣問題：近半個世紀以來，研究者發現許多自然現象即使可以化為單純的數學公式，但是其行徑卻無法預料.如氣象學家Edward Lorenz發現簡單的熱對流現象能引起非常大的氣象變化，產生了所謂的“蝴蝶效應”.60年代，美國數學家Stephen Smale發現某些物體的行徑經過一些規則性變化之后，并沒有規律可循，呈現失序的混沌狀態.

軍事問題：馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個國的存與亡.這就是軍事中的所謂“蝴蝶效應”.

三、分形理論和混沌理論的聯系

從總體上講，二者在產生時并無關系，兩者的關系先要從它們各自產生的背景來看，混沌的產生更多是從物理方面得來的，比如，自然界中的天氣變化，分形更多是從數學中幾何方面研究中總結出來的，例如，千變萬化的分形圖案.

混沌的主要特征初值敏感性（俗稱“蝴蝶效應”）和奇異吸引子，簡單來說句是確定性的非線性系統中出現的一種隨機現象，隨機性和確定性往往不能同時存在，混沌的奇妙之處在于把確定性和隨機性給統一了.分形的核心是自相似，對很多表面無規則的復雜現象，特別是在時間和空間上存在無窮迭代非線性系統，具有很強的描述能力，這其中包含了混沌現象.分形的奇妙之處在于表面好似無規則、碎片狀的東西，其實也是有規律的.

至于二者為什么緊密相關，因為它們研究的系統都是現實的非線性系統，它們有著共同的來源是動力系統，混沌吸引子就是分形，混沌是時間上的分形，分形是時間上的混沌.混沌主要討論非線性動力系統的不穩定，發散的過程，但系統總是收斂一定的吸引子，這與分形的自相似性非常相像，可以說混沌系統與分形結構都具有自相似性.

【參考文獻】

[1]周作領.符號動力系統[M].上海：上海科技教育出版社，1997.

[2]謝和平，張永平，宋曉秋，等.分形幾何：數學基礎與應用[M].重慶：重慶大學出版社，1991.