數學思想方法在初中問題解決中的滲透

吳小敏

摘要：結合平時的教學，介紹數學思想方法在具體題型中的應用。

關鍵詞：數學思想方法、教學、應用

在初中數學教學中，教師不僅要注重基本的概念、公式、定理等的教學，知識與技能水平，還應重視數學思想方法的滲透，以達到有效培養學生數學思維能力，提高學生綜合數學素質的目的。“所謂數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點。數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂。”

下面結合平時的教學，介紹數形結合、方程與函數、分類討論、化歸與轉化四種重要的數學思想方法在具體題型中的應用。

一、數形結合思想.在初中數學教學中，數形結合思想主要體現在兩方面：一是以形助數，即用幾何圖形的直觀性來闡明數之間的聯

系;二是以數助形，用數之間的聯系來闡明幾何圖形的某些屬性，從而巧妙快速的解決問題。

例1： X2+9=A，求得最小值是多少？

分析：由X2+9=X2=32，PQ2=OP2-OQ2，（12-x）2+36=（12-x）2+62的形式，聯想到兩點間的距離公式。由x2+9=A，（12-x）2+36=B（12-x）2+36=B是勾股定理形式，聯想到構造直角三角形，并利用線段最短等數學知識解題。

二、方程與函數思想。在初中數學中，把一系列字母或待求的量通過列等式方程，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想。而函數思想是在解決數學問題的過程中把各個量之間的聯系用函數關系表示出來。

例2：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四邊形EFPQ是矩形，點P與點C重合，點Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）.

（1）當AE=8時，求EF的長;

（2）設AE=x，矩形EFPQ的面積為y.

①求y與x的函數關系式;

②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∵矩形，∴EF∥BC，

（2）①∵AB=12，AE=x，點E與點A、點B均不重合，∴0

∵矩形，∴EF∥BC，∠CFE=90°，∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

三、分類討論思想。分類討論思想就是根據事物具有的共性和差異性的特點，進行分別歸類。

例3：如圖，在銳角△ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG.設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.

分析：根據點的變化，找出臨界狀態，進行分類。

解： 分兩種情況：

①如圖，當正方形DEFG在△ABC的內部時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積.

∵DE=x，

∴y=x2，此時x的范圍是0

②如圖3，當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，設DG與BC交于點Q，EF與BC交于點T，△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC

∴4.8

∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為

當0

當4.8

∴當X=6時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24。

∵24>23.04，∴重疊部分的面積的最大值為24.

四、化歸與轉化思想。所謂化歸與轉化思想是指通過數學問題內部的聯系，在轉化中將問題歸結到熟悉的知識上，從而使問題獲得解決的方法。這是使問題簡化的思想方法。充分體現了數學的特質：追求簡單化！

例4：⊙O是以原點為圓心，√2為半徑的圓，點P是直線y=-x+6上的一點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，求切線長PQ的最小值。

分析：因為，OQ2=OP2-OQ2，OQ是半徑，是個定值，所以，求PQ的最值，就是求OP得最值。所以問題進行轉化。接著再利用垂線段最短，求出OP的最小值。

教學中只有通過培養學生的數學思想，并在這種思想的支配下進行解題分析，才能將知識運用得得心應手，這種融入數學思想方法的教學才會收到事半功倍的成效。

參考文獻：

《怎樣解題.數學思維的新方法》 美 波利亞2011.11

《幾何原本》古希臘 歐幾里得2011.3