高考“函數的零點”題型分類及解題策略分析

張旭

摘 要：函數的零點問題是高考常考的內容之一，若判斷函數在某個區間上是否存在零點，只需判斷區間端點的函數值是否異號；若判斷函數零點的個數，需要將函數零點轉化為方程的解，再由方程的解轉化為兩個新函數的圖象的交點；若利用導數則可以解決一些較復雜函數的零點問題。

關鍵詞：函數零點；圖象交點；方程解

函數的零點問題是近些年高考出題的熱點問題，考查題型以選擇題為主，偶爾出現在填空題和解答題之中。零點問題綜合性較強，滲透數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想方法，成為高考的生長點和學生的失分點。為幫助考生攻克這一難點，下面筆者通過對新課標高考題的分析，歸納總結函數的零點問題的常見題型和解題策略，希望對大家有所幫助。

一、函數零點所在區間的判斷

涉及求零點所在區間范圍的題型，可以利用零點的存在性定理進行求解。

利用存在性定理求解時，需要計算出區間端點處得函數值符號，如不能得到端點處的函數值可考慮用二分法繼續求證或作圖觀察函數圖象的交點所在的大致區間。

例1.若方程ln（x+1）+2x-1=0的根為x=m，則（ ）

A.0

解：設f（x）=ln（x+1）+2x-1，則f（0）=-1<0，f（1）=ln2+1>0，所以0

二、求函數零點的個數或方程的根的個數問題

求零點個數問題是高考中最常見的零點題型，如果所給函數有一個零點時，可以考慮利用存在性定理證明函數存在零點，然后再證明函數在此區間是單調函數即可。如果所給函數含有一個以上的零點，可以采用數形結合的方法求解。如將f（x）轉化為

f（x）=g（x）-h（x）的形式，則可以作出g（x）和h（x）的圖象，兩個圖象交點的個數就是f（x）零點的個數。

例2.若定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=

f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓，則函數H（x）=xex-f（x）在區間[-3，1]上的零點個數為（ ）

A.5 B.4 C.3 D.2

解：函數f（x）是偶函數，且f（x+2）=f（-x）=f（x），即函數f（x）是以2為周期的函數。記g（x）=xex，則有g′（x）=（x+1）ex，當x<-1時，g′（x）<0；當x>-1時，g′（x）>0，由此畫出g（x）=xex的圖象，進而得到y=xex的圖象，結合圖象知，函數y=xex與y=f（x）的圖象在[-3，1]上共有4個交點，故選B。

在將原函數轉化時要注意轉化的函數圖象要盡量簡單，方便作圖。另外，在作圖時可能會涉及圖象的平移、翻折變換、復雜的函數甚至需要求導，因此，在平時的學習中學生要熟悉基本初等函數及變形后的函數圖象。

三、復合型函數零點的個數問題

對于復合型函數的零點問題，往往給出的函數都是分段函數，直接代入較為復雜，為學生解題帶來極大困難。為了簡化運算，我們一般需要先將復合型函數f[g（x）]拆分為兩個函數y=

f（t），t=g（x）。然后根據函數f（t）的零點情況確定t的值或范圍，再分別作出函數y=t和y=g（x）的圖象，根據兩個函數圖象交點的情況就能最終確定復合型函數的零點個數了。

例3.已知函數f（x）=，x≤1log2（x-1），x>1則函數F（x）=f[f（x）]-2f（x）-的零點個數是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.

解：令t=f（x），則F（x）=f（t）-2t-，其零點由F（x）=0，得f（t）=2t+，作出函數y=f（t）與y=2t+■的圖象，根為t=0或t∈（1，2）。當t=0時，x=2；當t∈（1，2）時，有3個零點，所以函數F（x）的零點個數為4，故選A。

四、求函數所有零點和的問題

求函數零點之和的問題是最近幾年高考出現的新類型題，它一般會將函數的對稱性問題和零點問題結合在一起進行考查，題目較難，對學生的綜合解題能力要求高。對于此類問題的解答需要我們先利用作圖的方式找到零點的個數，再根據對稱性分別求出兩個函數的對稱軸或對稱中心（通常兩個函數的對稱性相同）。由函數的對稱性可知零點的對稱性，關于對稱軸或對稱中心對稱的零點和為對稱軸或對稱中心橫坐標的2倍。由此，可以確定所有零點的和。

例4.函數f（x）=+2sinπx-在x∈[-3，5]上的所有零點之和為（ ）

A.4 B.6 C.8 D.10

解：因為f（x）=-2cosπx，所以函數f（x）的零點即為函數y=與函數y=2cosπx的交點，作出函數y=與函數y=2cosπx的圖象，由圖知，有8個交點，而x=1是兩函數的對稱軸，所以函數f（x）所有零點之和為4×2=8，故選C。

參考文獻：

[1]徐正印.高考中分段函數與零點交匯問題的解題策略[J].中學數學研究，2018（8）：15.

[2]胡宗玲.根據參數確定函數零點[J].中學生數理化（學習研究），2018（9）.

[3]盧杰.函數零點問題常見的幾種求解方法[J].中學教學參考，2013（6）：35.

編輯 段麗君